Geometria Espacial 3.

por vitorCE Qua 29 Fev 2012, 16:03

366.

Considere um cubo ABCDEFGH de lado 1 unidade de comprimento,como na figura.M e N são os pontos médios de AB e CD, respectivamente.Para cada ponto P da reta AE, seja Q o ponto de interseção das retas PM e BF.

a)Prove que o Triângulo PQN é isósceles.

b)A que distância do ponto A deve estar o ponto P para que o triângulo PQN seja retângulo ?

resposta :

b)V3/2 unidades de comprimento.

por **Elcioschin** Qua 29 Fev 2012, 17:37

E a figura ?

Ou escaneie e cole ou faça a figura no Paint e cole

por vitorCE Qua 29 Fev 2012, 18:57

Aqui a figura Elcioshin :

Geometria Espacial 3. Imgo

por **Elcioschin** Qui 01 Mar 2012, 09:55

Fazendo AP = x , BQ = y, a o lado do cubo, e AP^M = Ô

Traçando QR perpendicular a AE ----> QR = a , AR = y

tgÔ = AM/AP = QR/PR ----> (a/2)/x = a/(x + y) ----> y = x

AN² = AD² + DN² ----> AN² = a² + (a/2)² ----> AN² = 5a²/4

PN² = AP² + AN² ----> PN² = x² + 5a²/4 ----> PN² = (4x² + 5a²)/4 ----> I

BN² = BC² + CN² ----> BN² = a² + a²/4 ----> BN² = 5a²/4

NQ² = BQ² + BN² ----> NQ² = y² + 5a²/4 ----> NQ² = (4x² + 5a²)/4 ----> II

I = II ----> PN = NQ -----> Triângulo PNQ é isósceles

b) Para o triângulo PNQ ser isósceles e retângulo PN e NQ devem ser os catetos e PQ a hipotenusa

PQ² = AR² + QR² ----> PQ² = (x + y)² + a² ----> PQ² = (2x)² + a² ----> PQ² = 4x² + a²

PQ² = PN² + NQ² ----> 4x² + a² = (4x² + 5a²)/4 + (4x² + 5a²)/4 ----> 4x² + a² = (4x² + 5a²)/2 ---->

8x² + 2a² = 4x² + 5a² ---> 4x² = 3a² -----> x² = 3a²/4 -----> x = \/3/2 ----> AP = \/3/2

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