Equação de lugar geométrico

Olá.

Um ponto P(x,y) se desloca de tal modo que a diferença de suas distâncias a F1(1,4) e
F2(1, -4) é sempre igual a 6. Instituir a equação de seu lugar geométrico.


Um abraço.

Olá amigo,

Sejam:

o ponto genérico P(x, y)
o ponto F1(1, 4) e o ponto F2(1, - 4)
d1 = distância do ponto P ao ponto F1
d2 = distância do ponto P ao ponto F2

então:

d2 - d1 = 6
.._____________ ....._____________
\/(x-1)² + (y+4)² - \/(x-1)² + (y-4)² = 6

.._____________ ..........._____________
\/(x-1)² + (y+4)² = 6 + \/(x-1)² + (y-4)²
......................................_____________
(x-1)² + (y+4)² = 36 + 12*\/(x-1)² + (y-4)² + (x-1)² + (y-4)²
..........................._____________
(y+4)² = 36 + 12*\/(x-1)² + (y-4)² + (y-4)²
.................................._____________
y² + 8y + 16 = 36 + 12*\/(x-1)² + (y-4)² + y² - 8y + 16
......................____________
16y - 36 = 12*\/(x-1)² + (y-4)
................._____________
4y - 9 = 3*\/(x-1)² + (y-4)²

16y² - 72y + 81 = 9*[ (x-1)² + (y-4)² ]

16y² - 72y + 81 = 9*( x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 )

16y² - 72y + 81 = 9x² - 18x + 9 + 9y² - 72y + 144

7y² - 9x² + 81 + 18x - 9 - 144 = 0

7y² - 9x² + 18x - 72 = 0

7y² - 9x² + 18x = 72

7y² - 9*( x² - 2x) = 72

7y² - 9*(x² - 2x + 1) = 72 - 9

7y² - 9*(x-1)² = 63

(7/63)y² - (9/63)x² = 1

( y²/9) - [( x - 1 )²]/7 = 1

.. y² .....( x-1)²
----- - ------- = 1
.. 9 ......... 7


Um abraço.

Nobre colega José Carlos, a ver sua belíssima solução:
y² .....( x-1)²
----- - ------- = 1
.. 9 ......... 7
Porém, surgiram algumas dúvidas tais como:
1° - Existe uma figura geometrica que possa ser representada pela sua equação?
2° - Se existir, de que figura se trata?
3° - Por fim, poderia defini-la mais detalhadamente?

Forte abraço,
Aryleudo.

Está aí o gráfico do lugar geométrico

Mestre Euclides, com sempre prestativo e alerta!
Sucesso,
Aryleudo.

Olá.

Agradeço a todos que participaram da solução do exercício.


Um gramde abraço.

Jota-r

Olá caro aryleudo,

O Mestre Euclides nos socorreu com este ótimo desenho.


Um abraço a todos.

É verdade grande José Carlos! E aproveitando o momento ,ainda , para afirmar que as suas participações também são extremamente necessárias e bastante importantes para o engrandecimento da discursão e a melhor aprendizagem dos participantes!
Forte abraço Mestre José Carlos,
Aryleudo.