Sistema linear

por Ferrus Seg 13 Fev 2012, 22:09

k(x+y) + z = 0
k(y+z) + x = 0
k(z+x) + y = 0

Para que o sistema tenha uma única solução, a constante k não pode assumir os valores:

a) 0 e 1
b) -1 e 1
c) -1 e 1/2
d) -1/2 e 1
e) -1 e 0

:scratch:

por christian Ter 14 Fev 2012, 00:51

kx + ky + z = 0 (1)
x +ky + kz = 0 (2)
kx + y +kz = 0 (3)

fazendo por matrizes

$\begin{vmatrix} k & k & 1\\ 1 & k& k\\ k& 1 &k \end{vmatrix} = k^3+k^3+1 - k^2-k^2 -k^2 = 2k^3 -3k^2 +1\\ \\ \\ 2k^3 -3k^2 +1\neq 0\\ 3k^2 -1 -2k^3 \neq 0\\ k^2 -1 +2k^2 -2k^3 \neq 0\\ (k-1)^2 +2k -2 +2k^2 -2k^3\neq 0\\ (k-1)^2 +2(k-1)-2k^2(k-1)\neq 0\\ (k-1) +2 -2k^2 \neq 0\\ -2k^2 +k +1 \neq 0\\ \\ k \neq 1\\ \\ k' \neq -1/2$

obs : lembrando que para um sistema admitir uma unica soluçao D, Dx , Dy , Dn = diferente de zero

um pouco de fatoraçao e chegamos la ^^

por rihan Ter 14 Fev 2012, 01:32

kx + ky + z = 0

x + ky + kz = 0

kx + y + kz = 0

Um sistema homogêneo de 3 incógnitas, se for POSSÌVEL DETERMINADO (melhor seria: "uma única solução") tem como sua única solução única a tripla (0; 0; 0), a "solução trivial"

Para isso o determinante principal, o constituído dos coeficientes das incógnitas, tem que ser não nulo.

Determinante principal:

2k³ -3k² + 1

Que NÃO pode ser nulo

2k³ -3k² + 1 ≠ 0

Descobre-se as raízes, cujos valores "k" não poderá ter.

Como a questão é optativa, podemos experimentar os valores fornecidos, em vez de resolvermos a equação de 3º grau.

a) Testa-se o "1":

2 -3 + 1 = 0

É raíz.

b) Testa-se os pareados com "1", isto é, o "0", o "-1" e o "-1/2":

"0":

0 - 0 + 1 = 1 ≠ 0

Não é raíz.

"-1":

-2 + 3 + 1 = 2 ≠ 0

Não é raíz.

Só sobra o "-1/2", mas vamos testá-lo, por via das dúvidas... Cool

"-1/2":

-2/8 - 3/4 + 1 = -1/4 -3/4 + 1 = -1 + 1 = 0

É raíz.

Logo, k tem que ser diferente de "-1/2" e "1".

por rihan Ter 14 Fev 2012, 02:22

christian escreveu:...

$Sistema linear 2$
...

2k³ -3k² + 1 =

2k³ - 2k² -k² + 1 =

2k²(k - 1) + (1 - k²)

2k²(k - 1) + (1 - k)(1 + k) =

2k²(k - 1) - (k - 1)(1 + k) =

(k - 1) [ 2k² - (1 + k) ] =

(k - 1) [ 2k² - k - 1 ] =

(k - 1) [ 2k² - k - 1 ] =

(k - 1) [ k² - k + k² - 1 ] =

(k - 1) [ k(k - 1) + (k + 1)(k - 1) ] =

(k - 1) [ (k - 1) (k + k + 1) ] =

(k - 1) [ (k - 1) (2 k + 1) ] =

(k - 1)² (2 k + 1) ] ≠ 0

a) k - 1 ≠ 0 ⇒ k ≠ 1

b) 2 k + 1 ≠ 0 ⇒ k ≠ -1/2

Temos que SEMPRE ter muita atenção ao dividirmos as equações ou inequações !!!

Ao se dividir, o termo que divide — no caso da questão, o "(k-1)" — TEM QUE SER DIFERENTE DE ZERO !

Condição que temos que escrever explicitamente e ressaltada na linha de passagem:

k - 1 ≠ 0 ⇒ k ≠ 1

O que eliminaria "1" como raiz posterirormente !

A sorte é que, nessa questão, coincidentemente, o "1" era "raíz dupla" e "apareceu" novamente no polinômio de grau 2...

Muita atenção moçada !!! :cyclops: :cyclops: :cyclops: :cyclops: :cyclops: !!!

E sempre procurem responder da forma mais rápida... já que o tempo é fator limitante e importantíssimo nos concursos !

Saudações Atentas e Conselheiras !!!

E Vamos Lá !!! cheers

!!!

por christian Ter 14 Fev 2012, 09:03

rihan eu sei disso , eu dexei assim para ficar mais simples , nao quis levar muito pro lado de polinomio... 1 eh raiz de multiplicidade 2 , era só continuar fatorando ....

$(k-1)^2 +2(k-1) -2k^2(k-1)\neq 0\\ (k-1)^2 +(k-1)(2-2k^2)\neq 0\\ (k-1)(k-1 +(2-2k^2))\neq 0\\ (k-1)(-2k^2 +k+1)\neq 0\\ (k-1).-(k-1)(2k+1)\neq 0\\ (k-1)^2(2k+1)\neq 0\\$

por essa fatoraçao comprovamos que o polinomio p(x) = 2k³ -3k² +1 , assume 1 como raiz de multiplicidade 2 e -1/2 sera sua raiz simples ...

eu dividi por (k-1) rihan pq sabia q ia da no mesmo...

saudaçoes explicativas

por Ferrus Ter 14 Fev 2012, 10:30

Quando eu tentei fazer essa questão, eu consegui chegar no 2k³ - 3k² + 1 e então empaquei de jeito hehe

Muito obrigado christian e rihan pelas soluções! Very Happy

Na prova com certeza seria perda de tempo resolver o polinômio, o teste das assertivas seria imensamente mais rápido como o mestre rihan explicitou. Contudo, como eu pretendo fazer prova de segunda fase aberta, é sempre bom ter o conhecimento completo das resoluções :bball: