Tetraedro regular

por GILSON TELES ROCHA 27/12/2011, 11:00 pm

Qual é o volume de um tetraedro regular de aresta l ?

por Jessé de Jesus 28/12/2011, 12:51 am

Olá! Fiz só as contas pois já está meio tarde, mas estou achando meio desconexo sem uma figura.

Se precisar de figuras e um "passo-a-passo" é só avisar..

$\\V=\frac{1}{3}(A_b\times h)\\\\\begin{cases} A_b=\frac{l.l\sqrt{3}}{2.2}=\frac{l^2\sqrt3}{4}\\\\(\frac{l\sqrt3}{2})^2=(\frac{l\sqrt3}{6})^2+h^2\;\;\to\;\;h=\frac{l\sqrt6}{3}\end{cases}\\\\\\\therefore V=\frac{1}{3}\times \frac{l^2\sqrt3}{4}\times\frac{l\sqrt6}{3}=\\\\\therefore V=\frac{l^3\sqrt2}{12}$

por GILSON TELES ROCHA 28/12/2011, 6:47 am

Jessé, por favor somente as figuras.

por Jessé de Jesus 28/12/2011, 8:41 pm

Olá GILSON!

As faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros. Então, h vale $\frac{l\sqrt3}{2}$ .

F é baricentro, logo EF é 1/3 de EB - que também é $\frac{l\sqrt3}{2}$ . Daí $EF=\frac{1}{3}\times \frac{l\sqrt3}{2}=\frac{l\sqrt3}{6}$ .

Com o Teorema de Pitágoras descobre-se H:

$h^2=EF^2+H^2\;\;\to\;\;\left (\frac{l\sqrt3}{2} \right )^2=\left(\frac{l\sqrt3}{6} \right )^2+ H^2$