Tetraedro Regular

Em um tetraedro regular ABCD traça-se a altura AH, e um plano que passa pelos pontos médios das arestas AC, AD e BC interceptando a altura AH em um ponto P. Calcular PH/AP .
a)1/3
b)1/2
c)1/4
d)2/3
e)1
resp:a

Boa tarde!

Acredito que o gabarito esteja errado. Veja a representação que fiz:



Fiz a ilustração no GeoGebra. Lá indicam que a relação [PH]/[AP] = 1. (P é o ponto amarelo, talvez não esteja tão visível)

De fato, basta tomar ∆CKM₂ e ∆CHA, note que são semelhantes por AA e aplique a relação: [CM₂]/[CA] = [M₂K]/[HA]. Como [CA] = 2[CM₂] e [M₂K] = [PH], vem: [PH] = 2[HA]. Como [HA] = [PH] + [AP], ter-se-á: [PH] = [AP].

Gabriel

acho que o gabarito está certo: 1/3. Observe o seu descuido:

enunciado escreveu:...pontos médios das arestas AC, AD e BC interceptando a altura AH em um ponto P.

Em vez da aresta BC você considerou AB.

Entretanto não fiz contas e a razão pode até ser 1/4.

Medeiros, muito obrigado! Passou despercebido mesmo. 
Se ninguém se interessar pelo exercício, tento refazê-lo amanhã.

Okay, não consegui esperar.

Segue a ilustração (correta, dessa vez):


Bom, aqui a ideia é a seguinte: o ponto H (referente a altura [AH]) é circuncentro de ∆BCD, já que é equidistante dos vértices. Como ∆BCD é equilátero, circuncentro e baricentro coincidem. Assim, H também é o baricentro de ∆BCD.

Lembre-se da propriedade do baricentro: ele divide as medianas na proporção 2:1. Assim, [HB] = 2[HJ] ⇒ [HJ] = [HB]/2. Mas note que [BJ] = [HB] + [HJ] = h_∆BCD, de forma que: 3[HB]/2 = h_∆BCD = (a√3)/2, onde a é a aresta do tetraedro. Assim: [HB] = (2a√3)/6. 

Agora, note que I é o ponto médio de [BJ] (isso é facilmente verificável se aplicarmos semelhança em ∆BJC e ∆BIG). Daí, pode-se escrever que: [BI] = h_∆BCD/2 = (a√3)/4. Além disso, note que [HI] = [BH] - [BI] ⇒ [HI] =(2a√3)/6 - (a√3)/4 ⇒ [HI] = (a√3)/12.

Por fim, aplique semelhança em ∆BAH e ∆IPH. Ter-se-á: [HB]/[HI] = [AH]/[PH] ⇒ [(2a√3)/6]/[(a√3)/12] = [AH]/[PH] ⇒ [AH]/[PH] = 4. Como [AH] = [PH] + [AP], vem: ([PH] + [AP])/[PH] = 4 ⇒ 1 + [AP]/[PH] = 4 ⇒ [AP]/[PH] = 3 ⇒ [PH]/[AP] = 1/3.

Acredito ser isso. Se houver algum erro na resolução, avisem-me. No mais, bons estudos!