AFA 2011 - polinomios

por christian Qui 08 Dez 2011, 16:23

O polinomio P(x) = x^4-75x²+250x tem uma raiz dupla , em relaçao à P(x) é correto afirma que

a - a sua raiz dupla é negativa
b - apenas uma de suas raizes é negativa
c - tres de suas raizes sao negativas
d - nenhuma de suas raizes é negativa

gostaria de saber se da pra resolver essa questao sem derivar e se tiver me de uma explicaçao didatica boa , to estudando polinomio agora to meio fraco ainda silent

por **Victor M** Qui 08 Dez 2011, 16:40

Primeiramente tente obter as raízes desse polinômio:
I)P(x) = x^4-75x²+250x =0
x(x³ -75x+250) =0 => Primeira raiz x=0
x³ - 75x + 250 = 0
II)Pelas relações de Girard poderemos escrever:
a+b+c = 0
ab+ac+bc = -75
abc = -250
E como o enunciado nos garante, existem duas raízes iguais, suponha a e b:
2a=-c
a² +2ac = -75
a²*c = -250

Resolvendo o sistema:
c²*c/4 = -250
c³ = -1000
c= -10 => a= 5(raíz dupla)

As raízes serão: (5,5,0,-10)
A unica alternativa que condiz com a verdade é B.

Cumprimentos, Victor M.

por christian Qui 08 Dez 2011, 16:52

obrigado vitor M ,
me ajudou bastante cheers

por Convidado Qui 08 Dez 2011, 16:59

Fiz de um jeito diferente: raízes-> $\alpha,\beta, \gamma, \lambda$ do enunciado, alfa igual a beta
Fatorando o plinômio chegamos que gama é 0: $x\cdot (x^3-75x+250)$
Da primeira relação de girard:
$\alpha+\alpha+\beta+0=0\to 2\alpha+\beta=0$
Da segunda relação: $\alpha+\alpha+\beta+0=0\to 2\alpha+\beta=0$ ,m da relação entra alfa e beta temos que beta=-10, concluindo letra B.

por Convidado Qui 08 Dez 2011, 17:00

Putz minhas respostas sempre atrazadas;

por paulo_campos01 Dom 15 Jan 2012, 02:24

Victor M escreveu:Primeiramente tente obter as raízes desse polinômio:
I)P(x) = x^4-75x²+250x =0
x(x³ -75x+250) =0 => Primeira raiz x=0
x³ - 75x + 250 = 0
II)Pelas relações de Girard poderemos escrever:
a+b+c = 0
ab+ac+bc = -75
abc = -250
E como o enunciado nos garante, existem duas raízes iguais, suponha a e b:
2a=-c
a² +2ac = -75
a²*c = -250

Resolvendo o sistema:
c²*c/4 = -250
c³ = -1000
c= -10 => a= 5(raíz dupla)

As raízes serão: (5,5,0,-10)
A unica alternativa que condiz com a verdade é B.

Cumprimentos, Victor M.