OBMEP 2024 - análise combinatória

por guuigo Qua 30 Out 2024, 12:26

Um mágico tem quatro coelhos de cores diferentes e quatro cartolas numeradas de 1 a 4. De quantas maneiras distintas dois coelhos podem ficar em uma mesma cartola e os outros dois em outra
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a) 360
b) 72
c) 36
d) 16
e) 4

gabarito:

C4,2 (duplas) . A4,2 (cartolas escolhidas) = 6 . 12 = 72??????
Por que a ordem das casas não importa? Ex: Dupla1 - cartola 1 e Dupla2 - cartola 2 ≠ Dupla1 - cartola 2 e Dupla2 - cartola 1

por **Elcioschin** Qua 30 Out 2024, 13:19

Possibilidades para escolher duas cartolas = C(4, 2) = 6 ---> São elas:

(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 4)

Possibilidades de escolher dois coelhos = C(4, 2) = 6

São, portanto 6.6 = 36 maneiras

por guuigo Qua 30 Out 2024, 14:54

Elcioschin escreveu:Possibilidades para escolher duas cartolas = C(4, 2) = 6 ---> São elas:

(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 4)

Possibilidades de escolher dois coelhos = C(4, 2) = 6

São, portanto 6.6 = 36 maneiras

Nenhuma ordem importa, então? Nem a ordem dos coelhos nos pares e nem a ordem dos pares nas cartolas, isso?

por matheus_feb Qua 30 Out 2024, 16:09

guuigo escreveu:
Elcioschin escreveu:Possibilidades para escolher duas cartolas = C(4, 2) = 6 ---> São elas:

(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 4)

Possibilidades de escolher dois coelhos = C(4, 2) = 6

São, portanto 6.6 = 36 maneiras
Nenhuma ordem importa, então? Nem a ordem dos coelhos nos pares e nem a ordem dos pares nas cartolas, isso?

No caso, a questão diz claramente que os dois coelhos estarão em uma mesma cartola. Imaginemos um coelho preto e um branco. Alterar a ordem de cada um não cria uma possibilidade distinta, já que a cartola é a mesma e a ordem dos coelhos independe. Escolher a cartola é a mesma situação: imaginemos a cartola 1 e 2. Não importa a ordem da cartola. Escolher primeiro a 1 e depois a 2 é a mesma coisa que escolher primeiro a 2 e depois a 1.

por guuigo Qua 30 Out 2024, 16:24

matheus_feb escreveu:
guuigo escreveu:
Elcioschin escreveu:Possibilidades para escolher duas cartolas = C(4, 2) = 6 ---> São elas:

(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 4)

Possibilidades de escolher dois coelhos = C(4, 2) = 6

São, portanto 6.6 = 36 maneiras
Nenhuma ordem importa, então? Nem a ordem dos coelhos nos pares e nem a ordem dos pares nas cartolas, isso?
No caso, a questão diz claramente que os dois coelhos estarão em uma mesma cartola. Imaginemos um coelho preto e um branco. Alterar a ordem de cada um não cria uma possibilidade distinta, já que a cartola é a mesma e a ordem dos coelhos independe. Escolher a cartola é a mesma situação: imaginemos a cartola 1 e 2. Não importa a ordem da cartola. Escolher primeiro a 1 e depois a 2 é a mesma coisa que escolher primeiro a 2 e depois a 1.

O problema do enunciado é dizer "de quantas maneiras distintas dois coelhos podem ficar em uma mesma cartola", o que me levou a entender que esses 2 casos seriam diferentes...
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por matheus_feb Qua 30 Out 2024, 17:18

guuigo escreveu:
matheus_feb escreveu:
guuigo escreveu:
Elcioschin escreveu:Possibilidades para escolher duas cartolas = C(4, 2) = 6 ---> São elas:

(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 4)

Possibilidades de escolher dois coelhos = C(4, 2) = 6

São, portanto 6.6 = 36 maneiras
Nenhuma ordem importa, então? Nem a ordem dos coelhos nos pares e nem a ordem dos pares nas cartolas, isso?
No caso, a questão diz claramente que os dois coelhos estarão em uma mesma cartola. Imaginemos um coelho preto e um branco. Alterar a ordem de cada um não cria uma possibilidade distinta, já que a cartola é a mesma e a ordem dos coelhos independe. Escolher a cartola é a mesma situação: imaginemos a cartola 1 e 2. Não importa a ordem da cartola. Escolher primeiro a 1 e depois a 2 é a mesma coisa que escolher primeiro a 2 e depois a 1.
O problema do enunciado é dizer "de quantas maneiras distintas dois coelhos podem ficar em uma mesma cartola", o que me levou a entender que esses 2 casos seriam diferentes...

Entendo. Mas no caso, interpretando a grosso modo, são a mesma coisa. Até porquê nem existe uma ordem na colocação dos coelhos, no fim dá tudo no mesmo. A própria imagem que você disponibilizou mostra isso.

por **Elcioschin** Qua 30 Out 2024, 17:22

Vamos escolher primeiro as duas cartolas que serão ocupadas:

x = C(4, 2) = 6 --> Eu mostrei acima as 6 possibilidades

Suponhamos que foram escolhidas cartolas 1 e 2

Para ocupar a cartola 1 temos as seguintes possibilidades dos coelhos A, B, C, D:

y = C(4, 2) = 6 ---> AB, AC, AD, BC, BD, CD

Suponhamos que o par escolhido para cartola 1 foi AB
Restam, para a cartola 2 ---> CD ---> z = 1 possiblidade

Obs.: em cada cartola, não interessa quem vai entrar primeiro; o que interessa é o par de coelhos.

n = 6.6.1 --> n = 36