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Análise combinatória OBMEP

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Mensagem por Dunnow_ Qui 22 Jul 2021, 15:51

OBMEP 2018: Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da outra, inicialmente todas livres. Um carro preto e um carro rosa chegam a esse estacionamento. De quantas maneiras diferentes esses carros podem ocupar duas vagas de forma que haja pelo menos uma vaga livre entre eles?
Análise combinatória OBMEP Obmp-2018-questao-19
Cheguei à resposta correta: 72. Contudo, gostaria de entender o porquê do raciocínio abaixo estar errado.

Considerando primeiro as extremidades:
P _ R R R R R R R R [oito opções com o preto na primeira vaga].
R _ P P P P P P P P [oito opções com o rosa na primeira vaga].
P P P P P P P P _ R [oito opções com o rosa na última vaga].
R R R R R R R R _ P [oito opções com o preto na última vaga].


Considerando, agora, as demais vagas:
_ P _ R R R R R R R [sete opções com o preto na segunda vaga].
A situação acima poderá ser repetida 8 vezes (haja vista que o carro preto pode ocupar as vagas 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), logo, 7*8=56.

_ R _ P P P P P P P P [sete opções com o rosa na segunda vaga].
A situação acima poderá, novamente, ser repetida 8 vezes, logo, 7*8=56.

Assim, teríamos: 8+8+8+8+56+56=144.

Obrigado pela ajuda.  Very Happy

Dunnow_
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Análise combinatória OBMEP Empty Re: Análise combinatória OBMEP

Mensagem por tales amaral Sex 23 Jul 2021, 07:20

No seu segundo caso _ P _ R R R R R R R, imagine que o preto está na terceira casa: R _ P _ R R R R R R. Cai no caso do R no canto (conta a mesma coisa duas vezes).


Eu recomendo que você calcule de quantas formas cada carro pode se estacionar sem restrições e depois subtraia de quantas formas eles podem estacionar um do lado do outro.
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Análise combinatória OBMEP Empty Re: Análise combinatória OBMEP

Mensagem por Elcioschin Sex 23 Jul 2021, 10:02

Com preto na 1ª ou na 10ª casa ---> 
Existem 8 possibilidades para o verde. Total = 2.8 = 16

Com preto nas 8 casas intermediárias --->
Existem 7 possibilidades para o verde --> total = 8.7 = 56

n = 16 + 56 ---> n = 72
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Análise combinatória OBMEP Empty Re: Análise combinatória OBMEP

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