proporção/Regra de três

por AlyneArgen Ter 03 Set 2024, 15:39

A torneira A leva duas horas a mais do que a torneira B para encher o mesmo tanque. Primeiro, elas são ligadas ao mesmo tempo por 1,5horas. Depois disso, a segunda torneira é fechada e a primeira enche o tanque em 1hora. Em quanto tempo cada uma delas encheria o mesmo tanque isoladamente?

R: A= 5h e B=3h.

por Lipo_f Ter 03 Set 2024, 16:09

A torneira B leva o tempo t para encher o tanque de volume V => B = V/t e A = V/(t+2) (as vazões).
Elas são ligadas juntas por 1.5h, então enchem 1.5V/t + 1.5V/(t+2). Após isso, a B é fechada e A continua por mais 1h: + V/(t+2) e isso acaba em V
=> V = 1.5V/t + 2.5V/(t+2)
<=> 1 = 1.5/t + 2.5/(t+2)
<=> t² + 2t = 1.5t + 3 + 2.5t = 4t + 3
<=> t² - 2t + 1 = 4 <=> (t - 1)² = 4 => t = 1 +- 2 => t = 3 (-1 obviamente não convém).
Então, B leva 3h e A leva 5h.

por AlyneArgen Qua 04 Set 2024, 16:47

Lipo_f escreveu:A torneira B leva o tempo t para encher o tanque de volume V => B = V/t e A = V/(t+2) (as vazões).
Elas são ligadas juntas por 1.5h, então enchem 1.5V/t + 1.5V/(t+2). Após isso, a B é fechada e A continua por mais 1h: + V/(t+2) e isso acaba em V
=> V = 1.5V/t + 2.5V/(t+2)
<=> 1 = 1.5/t + 2.5/(t+2)
<=> t² + 2t = 1.5t + 3 + 2.5t = 4t + 3
<=> t² - 2t + 1 = 4 <=> (t - 1)² = 4 => t = 1 +- 2 => t = 3 (-1 obviamente não convém).
Então, B leva 3h e A leva 5h

Dúvidas:

1) Porque V = 1?
2) De onde surgiu esse 3?

por **Elcioschin** Qua 04 Set 2024, 18:31

Para facilitar ele fez o volume V do tanque V = 1 (1 tanque cheio)

Existem duas possibilidades para as raízes:

t = 1 - 2 ---> t = - 1 h não serve pois t seria negativo
t = 1 + 2 ---> t = 3 h

por Lipo_f Qua 04 Set 2024, 18:38

AlyneArgen escreveu:Dúvidas:

1) Porque V = 1?
2) De onde surgiu esse 3?

V não é igual 1, é só que na equação V = 1.5V/t + 2.5V/(t+2) eu posso cortar V, já que aparece em todo canto (= dividi ambos os lados por V). Disso, obtemos a equação em função de t: 1 = 1.5/t + 2.5/(t+2). Resolvendo esse treco aí que surgem duas soluções, uma não convém porque é negativa e a outra é t = 3h.