Iezzi 3 volumes função logarítmica exercício testes 34

por brunoriboli Qui 29 Ago 2024, 15:04

O produto das raízes da equação x^{(log x)²} = 8x² é igual a:

a) 3
b) 4
c) 8
d) 16
e ) 9

Gabarito: b

Gente eu acho que tem um erro de digitação nessa questão pois não é x^{(log x)²} e sim x^log₂x

E então a solução fica:

x^log₂x = 8x²
log_x x^log₂x = log_x 8x²
log₂ x = log_x 8 + log_x x²
log₂ x = log₂ 8 / log₂ x+ 2
log₂ x = 3 / log₂ + 2
log₂ x - 3 / log₂ - 2 = 0

Fazendo log₂ x = y, Temos:

y -3/y -2 = 0
y² -2y-3 = 0

y = 3 ou y = -1

log₂ x = 3
2³ = x
x = 8

log₂ x = -1
2^-1 = x
X= 1/2

1/2*8 = 4 letra d

Mas eu gostaria de saber se existe solução para o jeito que tá escrito no livro:

Iezzi 3 volumes função logarítmica exercício testes 34 Img_2049

por Lipo_f Qui 29 Ago 2024, 16:36

É isso mesmo que você escreveu. Eu só faria de uma forma diferente: aplicaria logo o log2, ficando com (log2 x)² = 2log2(x) + 3.

por brunoriboli Qui 29 Ago 2024, 16:38

Lipo_f escreveu:É isso mesmo que você escreveu. Eu só faria de uma forma diferente: aplicaria logo o log2, ficando com (log2 x)² = 2log2(x) + 3.

Mas e se fosse do jeito errado. Tem solução?

por Lipo_f Qui 29 Ago 2024, 17:28

Nesse caso, aplique log nos dois lados: (log x)³ = 3log(2) + 2log x, e acabamos em y³ - 2y - 3log(2) = 0. Essa equação até me dá três respostas: aproximadamente 0.08354, 0.2998 e 39.9252, mas o produto delas dá na verdade 1. Isso é fácil de provar.
Sejam y1, y2, y3 as raízes => logxi = yi <=> xi = 10^yi => x1x2x3 = 10^(y1+y2+y3) = 10^(-b/a) = 10^0 = 1.

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