Escola Naval - 1988 (Trigonometria)

por Júliawww_520 Qui 08 Ago 2024, 09:00

O número de soluções da equação sen³x + cos³x = 1 - (1/2)sen 2x no Intervalo (0, 2????) é:
Resposta: 1
Chamando senx=x e cosx=y eu cheguei em (x+y)(x²-xy+y²)=1-xy -----> (1-xy)(x+y+1) = 0
A única forma que eu pensei pra resolver foi (1-xy) ≠ 0 e senx + cosx + 1 = 0 se x = 180° mas não sei se está certo

por Lipo_f Qui 08 Ago 2024, 13:57

sen³x + cos³x = (senx + cosx)(sen²x + cos²x - senxcosx) = (senx + cosx)(1 - 1/2 sen2x)

Então, temos (senx + cosx)(1 - 1/2 sen2x) = 1(1 - 1/2 sen2x)
Daí, ou 1 - 1/2 sen2x = 0 <=> sen2x = 2 (absurdo), ou senx + cosx = 1 <=> √2 (1/√2 senx + 1/√2 cosx) = 1 <=> senx cos(pi/4) + cosx sen(pi/4) = 1/√2 <=> sen(x + pi/4) = sen(pi/4)
=> x + pi/4 = pi/4 + 2kpi <=> x = 2kpi;
ou x + pi/4 = pi - pi/4 + 2kpi <=> x = pi/2 + 2kpi.
Como 0 < x < 2pi, a primeira não dá soluções porque nem 0 nem 2pi estão no intervalo. A segunda dá uma solução, que é pi/2.

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