Logaritmo

por O Reype mito Dom 09 Jun 2024, 17:30

Oi pessoal! Eu estava resolvendo um problema de matemática até que me deparei com a seguinte equação:

[latex]\log ( 2^{x} - 8 ) = \log (\frac{1}{2^{x}} - 4)[/latex]

O que eu posso fazer nessa situação? Caso os logaritmandos estivessem multiplicando (ou dividindo) a conta seria fácil, porém não lembro de nenhuma propriedade em que eles se subtraem... Alguém poderia me ajudar?

Desde já agradeço Very Happy

por **Elcioschin** Dom 09 Jun 2024, 18:25

Como os dois logaritmos são iguais, os logaritmandos tem que ser iguais:

2^x - 8 = 1/2^x - 4 --> 2^x - 4 = 1/2^x ---> *2^x --->

(2^x)² - 4.(2^x) = 1 --->

(2^x)² - 4.(2^x) - 1 = 0 ---> Temos uma equação do 2º grau, na variável 2^x

Calcule 2^x= k (só serve valor positivo)

2^x= k ---> log(2^x) = logk ---> x.log2 = logk ---> x = logk/log2

por O Reype mito Dom 09 Jun 2024, 18:49

Calculei e o resultado deu certo! Muito obrigado, mestre Elcioschin!

por **Elcioschin** Dom 09 Jun 2024, 18:57

Então vc não respeitou a Regra XI do fórum: caso saiba o gabarito, ele deve ser obrigatoriamente postado, junto com o enunciado.

Por favor informe o gabarito e mostre o passo-a-passo da sua solução.

por O Reype mito Ter 11 Jun 2024, 06:54

Elcioschin escreveu:Então vc não respeitou a Regra XI do fórum: caso saiba o gabarito, ele deve ser obrigatoriamente postado, junto com o enunciado.

Por favor informe o gabarito e mostre o passo-a-passo da sua solução.

Desculpe, não lembrei desse detalhe.

[latex]2^{x} - 8 = \frac{1}{2^{x}} - 4 \rightarrow 2^{x}.[2^{x} - 4] = 2^{x}.\frac{1}{2^{x}}[/latex]

Seja [/latex]2^{x} = a[/latex], assim [/latex]a^{2} - 4a - 1 = 0[/latex]

[/latex]a = +2 + \sqrt{5}[/latex]

(o sinal deve ser positivo para que o logaritimando seja maior que 0)

[/latex]\Rightarrow 2^{x} = 2 + \sqrt{5} \rightarrow \log2^{x}[/latex] = log₂ [/latex](2 + \sqrt{5})[/latex]

Gabarito e solução: [/latex]\therefore[/latex] x = log₂ [/latex](2 + \sqrt{5})[/latex]