análise combinatória

Em uma reunião de uma unidade hospitalar, estavam presentes
8 servidores, sendo 6 médicos e 2 enfermeiros. Todos sentaram-se ao redor de uma mesa redonda.
A quantidade de maneiras distintas que essa mesa pode ser
organizada de forma que entre os dois enfermeiros tenha sempre
três médicos é

(A) 120.
(B) 240.
(C) 480.
(D) 720.



Gabarito preliminar: D



Obrigado!

Dada a configuração de 8 servidores, composta por 6 médicos (M1, M2, M3, M4, M5 e M6) e 2 enfermeiros (E1 e E2), podemos considerar a permutação circular dos 7 servidores restantes após fixarmos o enfermeiro E1. Isso resulta em 7! possibilidades.

E2, M1, M2, M3, M4, M5, M6
M1, E2, M2, M3, M4, M5, M6 
M1, M2, E2, M3, M4, M5, M6
M1, M2, M3, E2, M4, M5, M6 
...

No entanto, a restrição estabelecida indica que entre os dois enfermeiros deve haver sempre três médicos. Portanto, nos interessa apenas as permutações em que o enfermeiro E2 ocupa a posição central na configuração dos servidores. Ao fixar o enfermeiro E2 no centro, restam 6 médicos para serem posicionados ao seu redor.

M1, M2, M3, M4, M5, M6

Podemos então permutar esses 6 médicos linearmente, resultando em 6! = 720 possibilidades. Assim, a quantidade total de maneiras distintas de organizar a mesa de modo a satisfazer a restrição é de 720.

Só uma dúvida. Nesse caso não há permutação entre "E1" e "E2" ?, ou seja, não se leva em conta as possibilidades de  M1, M2, M3, E2, M4, M5, M6 ou M1, M2, M3, E1, M4, M5, M6. Pelo que entendi o "E1" vai ficar de frente para o "E2", conforme seu exemplo, considerando que a mesa é redonda. Não poderia haver uma troca de lugar entre "E1" e "E2" ?

VIRTUDE=RESPEITO escreveu:Só uma dúvida. Nesse caso não há permutação entre "E1" e "E2" ?, ou seja, não se leva em conta as possibilidades de  M1, M2, M3, E2, M4, M5, M6 ou M1, M2, M3, E1, M4, M5, M6. Pelo que entendi o "E1" vai ficar de frente para o "E2", conforme seu exemplo, considerando que a mesa é redonda. Não poderia haver uma troca de lugar entre "E1" e "E2" ?

A troca de lugar entre E1 e E2 já é contabilizada ao se permutarem os médicos. Em uma permutação circular o que importa é quem está ao seu arredor (esquerda/direita/frente/etc) e não a sua posição na mesa.

Para ficar evidente, observe um caso mais simples. Se fossem apenas dois médicos, note que seriam apenas 2 possibilidades e não 4.

     M1                M2
E1     E2   e  E1      E2
    M2                M1

Ou seja, qualquer outra permutação resultaria em recontagem. Em essência, é suficiente permutar os médicos.