Me ajudem nessa questão de PFC

O número N=2^3. 3^2. 6^x possui 30 divisores naturais. Determine o valor natural de x.

Olá, camarada. A questão diz que um número natural N=2³.3².6^x possui 30 divisores naturais.

Primeiro vamos lembrar como fazemos para encontrar todos os divisores naturais de um número:

Para realizar essa tarefa nós fatoramos o número em seus fatores primos e fazemos das devidas combinações de todas as possibilidades de expoente para cada fator primo, por exemplo:

Queremos saber quantos divisores naturais o número 24 tem. Vamos decompor o número 24 em fatores primos, ficando assim: 24 = 2.2.2.3 = 2³.3¹

Agora nós vamos estudar os expoentes dos fatores primos do 24:
Note que o 2 está elevado a 3, concorda que qualquer número que tem um expoente menor ou igual 3 no 2 seria um divisor de 24 ?
Por exemplo : 2³ = 8 (divide 24)
2² = 4 (divide 24)
2¹=2 (divide 24)
2^0 = 1 (divide 24)

Então, concorda que o expoente do dois pode assumir qualquer um desses 4 valores (3,2,1 e 0) ? Já que algo menor que isso sai dos números naturais e algo maior que isso não seria divisor de 24, por exemplo: 2^4 = 16 (NÃO divide 24)

Então concluímos que temos 4 possibilidades para o expoente do 2 , guarda isso, vamos usar depois !


Agora vamos estudar os expoentes do 3:
O maior expoente do 3 seria o próprio 1, concorda ?
Logo, as nossas únicas possibilidades pros expoentes do 3 ficam sendo o próprio 1 e o 0.
Já que 3¹ = 3 (divisor de 24) e 3^0 = 1 (divisor de 24).

Então, só temos duas possibilidades para o expoente do 3 (0 e 1)

Com as possibilidades para os expoentes dos fatores primos de 24, você fará o seguinte (agora que entra a parte de PFC): Você vai multiplicar essas duas possibilidades e terá o número de divisores naturais de um número.  Que para o 24 fica: 4.2 = 8 (o 4 são as possibilidades do expoente do 2 e o 2 são as possibilidades do expoente do 3), logo, o 24 tem 8 divisores naturais !

E você pode confirmar que, de fato, o 24 tem 8 divisores naturais:
D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24}

Isso foi só pra você entender o algoritmo que vamos usar na sua questão ! Voltando :


A questão diz que um número natural N=2³.3².6^x possui 30 divisores naturais.

Mas dizer isso significa dizer que o produto das possibilidades dos expoentes dos fatores naturais é igual a 30 !
Mas perceba que a questão fez uma maldadezinha: note que 6 não é primo, então vamos ter que usar as propriedades de potenciação para fatorá-lo em partes primas, o que não é tão dificil:

N =2³.3².6^x = 2³ . 3² . (2^x). (3^x) ⇔
N = 2³ . (2^x) . 3². (3^x) ⇔
N = 2 ^ (3+x) . 3^(2+x)

Aqui é um ponto crucial: essa última equação em negrito nos diz que os máximos expoentes do 2 e do 3 correspondem, respectivamente à (3 + x) e (2+ x), entretanto, é necessário lembrar que esses valores não incluem o zero , logo, precisaremos somar um a esses valores para dizer que eles correspondem  às possibilidades de expoentes dos fatores primos 2 e 3. Logo:
3 +x + 1 = (x + 4) = número de possibilidades do expoente do 2
2 + x + 1 = (x + 3) = número de possibilidades do expoente do 3

Então, vamos multiplicar esses dois valores e eles serão iguais ao número de divisores de N:
(x + 4).(x + 3) = D(N)

Mas a questão disse que D(N) = 30, logo:

(x + 4).(x+3) = 30
Agora nós só precisamos resolver essa equação e achar o valor de x. Vamos tentar fatorar ao invés de distribuir esses parênteses:

(x + 4). (x + 3) = 6.5

Aqui nós temos o produto de dois números de um lado igual ao produto de dois números do outro, o que significa que um fator de um lado é igual a um fator do outro . No caso, o maior número de um lado será igual ao maior número do outro:

(x + 4) = 6
(x + 3) = 5
*note que é só multiplicar membro a membro que voltamos à equação original, então não tem nada errado*

Podemos resolver quaisquer uma das duas equações que chegaremos na resposta final como 2. Portanto, o valor natural de x que satisfaz as condições dadas é x=2


Deu pra sacar, colega ?

Sim muito obrigado