Cálculo Estequiométrico

Os elementos R e M se combinam com o oxigênio para formar os compostos de fórmula RMO3 e RM2O5. O primeiro composto tem uma porcentagem em massa de oxigênio igual a 17,36% e o segundo composto, 20,01%. Qual a razão entre as massas atômicas de R e M, respectivamente? 

Spoiler:

Em cada um dos compostos, a porcentagem em massa do oxigênio é dada pela massa do oxigênio dividida pela massa total da molécula.
\[\frac{M_{\text{O}_3}}{M_\text{R}+M_\text{M}+M_{\text{O}_3}}=0,\!1736\]
\[\frac{M_{\text{O}_5}}{M_\text{R}+M_{\text{M}_2}+M_{\text{O}_5}}=0,\!2001\]
Simplificando a notação para reduzir o trabalho algébrico. Lembrando que \(M_\text{O}=16\), temos que \(M_{\text{O}_3}=48\) e \(M_{\text{O}_5}=80\).
\[\frac{48}{R+M+48}=a\]
\[\frac{80}{R+2M+80}=b\]
A partir daqui podemos definir um sistema com duas equações e duas incógnitas.
\[
\begin{cases}
\dfrac{48}{R+M+48}=a\\
\\
\dfrac{80}{R+2M+80}=b
\end{cases}
\]
Vamos trabalhar as equações para montar um sistema mais amigável.

A primeira equação.
\[a(R+M+48)=48\]
\[aR+aM+a48=48\]
\[aR+aM=48(1-a)\]
\[R+M=\frac{48}{a}(1-a)\]
Definindo \(c=\dfrac{48}{a}(1-a)\).
\[\mathbf{R+M=c}\]

A segunda equação.
\[b(R+2M+80)=80\]
\[bR+2bM+b80=80\]
\[bR+2bM=80(1-b)\]
\[R+2M=\frac{80}{b}(1-b)\]
Definindo \(d=\dfrac{80}{b}(1-b)\).
\[\mathbf{R+2M=d}\]

Remontemos o sistema com as equações simplificadas.
\[
\begin{cases}
R+M=c\\
\\
R+2M=d
\end{cases}
\]
Resolvendo em \(R\) e \(M\), temos:
\[R=2c-d\]
\[M=d-c\]
Restituindo os valores de \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).
\[R=2c-d=2\frac{48}{0,\!1736}(1-0,\!1736)-\frac{80}{0,\!2001}(1-0,\!2001)\]
\[R\simeq 137,\!2\]
\[M=d-c=\frac{80}{0,\!2001}(1-0,\!2001)-\frac{48}{0,\!1736}(1-0,\!1736)\]
\[M\simeq 91,\!3\]
\[\frac{R}{M}=\frac{137,\!2}{91,\!3}\]
\[\color{red} \frac{R}{M}\simeq 1,\!50\]