Funções trigonométricas

por Ada Augusta Qua 06 Mar 2024, 00:02

Dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma função trigonométrica de período 2π cujo gráfico está representado na figura abaixo é

a)f(x) = 1 - sen (π - x).
b)f(x) = 1 + cos (π - x).
c)f(x) = 2 - cos ( π + x).
d)f(x) = 2 - sen ( π + x).
e)f(x) = 1 - cos ( π - x)

Gab.: E

Em questões como essa, não é possível utilizar o conhecimento de que a imagem é [a-b, a+b] ou [a+b, a-b], tendo em vista uma função do tipo f(x) = a + b cos(x-d)?

por **Giovana Martins** Qua 06 Mar 2024, 07:35

Pelas alternativas, tem-se que f(x) = a + bcos(cx + d) ou f(x) = a + bsin(cx + d).

a + b[-1,1] = [0,2]

[a - b,a + b] = [0,2]

a - b = 0 (i)

a + b = 2 (ii)

Logo, (a,b) = (1,1).

Do gráfico a gente conclui que o período da função é P = 2pi, logo:

P = 2pi/|c| tal que c = 1.

Deste modo:

f(x) = 1 + cos(x + d) (iii) ou f(x) = 1 + sin(x + d) (iv).

Do gráfico concluímos que (pi,0) pertence a f(x), logo:

De (iii): 0 = 1 - cos(d), logo, d = 0.

De (iv): 0 = 1 - sin(d), logo, d = pi/2.

Assim:

f(x) = 1 + cos(x) ou f(x) = 1 + sin[x + (pi/2)].

Dado que cos(m - n) = cos(m)cos(n) + sin(m)sin(n) ou sin(m + n) = sin(m)cos(n) + sin(n)cos(m), a letra E corresponde aos dois valores possíveis que eu cheguei acima para f(x), só está escrito de forma diferente.

Se houver dúvidas, avise.

por **Elcioschin** Qua 06 Mar 2024, 08:44

Outro modo é testar alternativas

e) f(x) = 1 - cos(pi - x)

x = 0 --> f0) = 2 --> 2 = 1 - cos(pi - 0) --> 2 = 1 - (-1) --> 2 = 2 --> OK

x =pi --> f(pi) = 0 --> 0 =1 - cos(pi - pi) --> 0 = 1 - 1 --> 0 = 0 --> OK

x = -pi --> f(-pi) = 0 --> 0 = 1 - cos[pi - (-pi)] 0 = 1 - 1 --> 0 = 0 ---> OK