determine m+n sabendo que m e n são racionais.

[latex] (a+b)^3 = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3[/latex].

Queremos escrever [latex] 2+\sqrt{5} [/latex] na forma acima. Para facilitar, vou tomar [latex] b  = c\sqrt{5} [/latex], logo
[latex] (a+b)^3 = (a+c\sqrt{5})^3 =  a^3 +3\sqrt{5}a^2c + 15ac^2 + 5\sqrt{5}c^3 = (a^3+15ac^2) + (3a^2c+5c^3)\sqrt{5}[/latex]

. 

Igualando termo a termo, temos

[latex]\begin{cases}a^3+15ac^2 = 2
3a^2c+5c^3 = 1
\end{cases}
[/latex]

Logo [latex]a^3+15ac^2= 2\cdot(3a^2c+5c^3) = 6a^2c+10c^3 \iff a^3+15ac^2 -6a^2c-10c^3 = 0 [/latex]. Juntando os termos similares:

[latex] a^3+15ac^2 -6a^2c-10c^3 = a^3-c^3 +6ac^2-6a^2c+9ac^2-9c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2)+6ac(c-a)+9c^2(a-c) = 0 [/latex].

Daí podemos concluir que c = a é uma possível solução. Logo temos [latex]3a^2c+5c^3 = 3a^3+5a^3 = 1 \implies a = c = \frac{1}{2}[/latex].


Logo [latex] 2+\sqrt{5} = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^3 [/latex].



Voltando à questão, temos [latex] \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^3} =  \dfrac{1}{2}+\dfrac{ \sqrt{5}}{2} = \dfrac{1}{2} + \sqrt{\dfrac{5}{4}} [/latex].

Logo [latex] m+n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{7}{4}[/latex].