Números complexos.

[latex]\\\mathrm{i^{(1+2+...+n-1+n)}=1\to i^{\frac{n(n+1)}{2}}=1}\\\\ \mathrm{Das\ pot\hat{e}ncias\ de\ i:i^0=i^4=i^8=...=i^{4k}=1,k\in \mathbb{Z}_+}\\\\ \mathrm{Deste\ modo:i^{\frac{n(n+1)}{2}}=i^{4k}\ \therefore\ n(n+1)=8k,k\in \mathbb{Z}_+}[/latex]

Bom dia, Ryan.

Desculpe ser tão direta. O que eu fiz foi o seguinte: note que a soma 1 + 2 + ... + n - 1 + n é uma progressão aritmética de razão r = 1.

A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por:

[latex]\\\mathrm{S_n=\frac{\left ( a_1+a_n \right )n}{2}}[/latex]

Note que o primeiro termo da sequência (1, 2, 3, ..., n - 1, n) é 1 e o n-ésimo termo, isto é, a_n é igual a n. Substituindo estas informações na fórmula acima tem-se que a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética é dada por:

[latex]\\\mathrm{S_n=1+2+3+...+n-1+n=\frac{\left ( a_1+a_n \right )n}{2}=\frac{(1+n)n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}}[/latex]

Agora, voltando para a igualdade, tem-se:

[latex]\\\mathrm{i^{\frac{n(n+1)}{2}}=i^{4k}}[/latex]

Nesta parte, sendo as bases iguais de cada membro, para que a igualdade ocorra, certamente os expoentes devem ser iguais. Desta forma eu impus:

[latex]\\\mathrm{\frac{n(n+1)}{2}=4k\ \therefore\ n(n+1)=8k}[/latex]