Álgebra Vetorial

O plano π: 2x+y+2z-9=0 intersecta os eixos nos pontos A, B e C. O ortocentro do triângulo ABC é:

Resposta: (2,1,2)

Seja O a origem  e H a projeção de O sobre o plano. Então H é o ortocentro de ABC (vou provar isso no final). Mas sabendo disso, fica fácil pois OH é perpendicular ao plano. Isso implica que OH = t(2,1,2), onde t é um número real desconhecido, visto que (2,1,2) é normal ao plano. Como O é a origem, basta encontrar t tal que t(2,1,2) está no plano. Isso ocorre para t = 1, e portanto H = (2,1,2)


Agora vamos provar a afirmação inicial de que H é o ortocentro. Consideremos A,B,C,H como vetores e vamos denotar por * o produto interno (escalar). Disso segue que:

A*B = B*C= C*A = 0 pois estão sobre os eixos coordenados.
H*(A-H) = H*(B-H) = H*(C-H) = 0 pois OH é perpendicular ao plano e os segmentos AH,BH,CH estão no plano. Disso segue que:
H*A = H*B = H*C

Agora vamos verificar que a reta AH é perpendicular ao lado BC. De fato temos:
(B-C)*(A-H) = B*A - C*A -B*H + C*H = 0 (pelas observações anteriores)
De forma analoga, as retas BH e CH são perpendiculares aos lados AC e AB, respectivamente. Isso mostra que H é o ortocentro de ABC.