Movimento Queda Livre

por matheusfrs1 Seg 25 Dez 2023, 06:45

Uma esfera de massa m = 1,0 g cai sob a ação da gravidade. Devido a resistência do ar, a equação do movimento é: x = 500t - 250(1-e^(-2t)), sistema CGS, onde x é a distância medida em relação ao ponto de partida. Determinar a resistência do ar como função da velocidade da esfera. Adotar g = 1000 cm/s²

Gabarito: F(R) = - 2 v

por **Giovana Martins** Seg 25 Dez 2023, 07:10

Acredito que seja isto:

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F_{Resultante}=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}\to mg-F_R=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ mg-F_R=m\times \frac{d^2}{dt^2}\left [ 500t-250\left ( 1-e^{-2t} \right ) \right ]}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ mg-F_R=1000me^{-2t}\to F_R(t)=mg-1000me^{-2t}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ F_R(t)=1,0\times 10^3-1000\times 1,0\times e^{-2t}=2\times \left ( 500-500e^{-2t} \right )\ (i)}\\\\ \mathrm{\acute{E}\ sabido\ que\ v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\left [ 500t-250\left ( 1-e^{-2t} \right ) \right ]=500-500e^{-2t}\ (ii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Deste\ modo,de\ (i)\ e\ (ii):F_R(t)=-2v(t)\ (C.G.S.).}[/latex]

Por ser uma força contrária ao movimento, foi atribuído o sinal negativo no fim da resolução.

Ainda é possível explorar mais alguns itens que geralmente são cobrados em questões deste estilo. Por exemplo, quando o tempo tende a um valor muito grande, a força de resistência tende a um valor constante assim como a velocidade de tal modo que o corpo tenderá a descrever um movimento uniforme. Veja:

[latex]\\\mathrm{F_R(t\to \infty)=\lim_{t\to \infty}\left [F_R(t) \right ]=\lim_{t\to \infty}\left ( 1000-\frac{1000}{e^{2t}} \right )=1000\ (C.G.S.)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ v(t\to \infty)=\lim_{t\to \infty}[v(t)]=\lim_{t\to \infty}\left ( 500-\frac{500}{e^{2t}} \right )=500\ (C.G.S.)}[/latex]

Esta velocidade que tende a ser constante conforme o tempo aumenta costuma ser chamada de velocidade terminal.

Movimento Queda Livre

Movimento Queda Livre

Re: Movimento Queda Livre

Um fórum livre e democrático.