Plano paralelo à base de uma pirâmide

A que distância do vértice deve ser conduzido um plano paralelo à base de uma pirâmide, para se obter dois sólidos de mesma área lateral?

Gabarito: \(x = \frac{h \sqrt2}{2}\); h - altura da pirâmide

Um modo bem simples é planificar a pirâmide. E para simplificar ainda mais consideramos que ela é um cone, para todos os efeitos e isso dá no mesmo. Assim fazendo fica fácil trabalhar com área de setores circulares.



Desculpe a figura na vertical mas é a primeira vez que estou fazendo isto pelo celular e ainda não peguei o jeito, não descobri como rotacionar essa figura.

Eureka!!! Consegui rotacionar a figura.

Caramba, que ideia boa, Medeiros. Você sempre tem ideias tão geniais.

Eu poderia usar esse raciocínio com troncos de pirâmide? No livro que estou utilizando tem mais três nesse mesmo estilo (de traçar um plano paralelo à base e pedir algo sobre as áreas laterais), porém não consegui resolver.

Zeroberto escreveu:Caramba, que ideia boa, Medeiros. Você sempre tem ideias tão geniais.

Eu poderia usar esse raciocínio com troncos de pirâmide? No livro que estou utilizando tem mais três nesse mesmo estilo (de traçar um plano paralelo à base e pedir algo sobre as áreas laterais), porém não consegui resolver.

Não sei se dá para usar com troncos de pirâmide. Quando vejo um problema procuro no meu alforge as ferramentas que tenho, e daí eu penso numa estratégia para resolver o problema de forma que me dê o mínimo trabalho possível. Nem sempre é a melhor solução mas é a melhor solução que eu consigo.

Posta o seu problema do tronco de pirâmide para a gente ver o que dá para fazer.

Zeroberto,

a minha solução anterior, que você gostou tanto, não está errada mas também não está certa, falta-lhe consistência, coerência. Fiz correndo numa pausa do trabalho e não prestei muita atenção em ser criterioso.
Onde eu indiquei h e x, aquilo são apótemas, não são alturas. Para adequar, basta aplicar o teorema de Tales. Segue abaixo a resolução corrigida.


O plano de corte divide a pirâmide original, grande, e cria uma pequena no topo. Seja:
a_g = apótema da pirâmide grande
a_p = apótema da pirâmide pequena
Como o enunciado fala apenas em pirâmide, sem dizer quantas arestas tem na base, vou considerar infinitas arestas na base. Isto transforma o perímetro da base numa linha contínua (não quebrada) e a pirâmide fica sendo um cone. Esta manobra não acarreta perda de aderência ao enunciado ou de consistência mas permite, com a pirâmide planificada, trabalharmos com áreas de setores circulares.

Uma observação sobre a ideia genial do Medeiros para que outras usuários do fórum entendam:

Um cone nada mais é do que uma pirâmide regular, com a base tendo um número infinito de lados.

Um outro caminho, usando o cone do Medeiros, sem planificar o cone:

Sejam r, R ; y, h ; g, G os raios da base menor e maior, a altura menor e maior e geratrizes menor e maior: 

Da semelhança ---> r/R = g/G = y/h

Sendo s a área lateral do menor, S do maior e St a área lateral do tronco:

St = s ---> St + s = S ---> s + s = S ---> 2.s = S ---> s/S = 1/2 --->

(y/h)² = s/S ---> (y/h)² = 1/2 ---> y/h = √2/2 ---> y = (√2/2).h

Medeiros escreveu:Zeroberto,

a minha solução anterior, que você gostou tanto, não está errada mas também não está certa, falta-lhe consistência, coerência. Fiz correndo numa pausa do trabalho e não prestei muita atenção em ser criterioso.
Onde eu indiquei h e x, aquilo são apótemas, não são alturas. Para adequar, basta aplicar o teorema de Tales. Segue abaixo a resolução corrigida.


O plano de corte divide a pirâmide original, grande, e cria uma pequena no topo. Seja:
a_g = apótema da pirâmide grande
a_p = apótema da pirâmide pequena
Como o enunciado fala apenas em pirâmide, sem dizer quantas arestas tem na base, vou considerar infinitas arestas na base. Isto transforma o perímetro da base numa linha contínua (não quebrada) e a pirâmide fica sendo um cone. Esta manobra não acarreta perda de aderência ao enunciado ou de consistência mas permite, com a pirâmide planificada, trabalharmos com áreas de setores circulares.

Sensacional, mestre. Gostei bastante mesmo.
Medeiros, como você soube que aquelas alturas que você havia calculado não eram alturas, mas sim apótemas?

Zeroberto escreveu:Sensacional, mestre. Gostei bastante mesmo.
Medeiros, como você soube que aquelas alturas que você havia calculado não eram alturas, mas sim apótemas?

Zeroberto,
antes de mais nada, desculpe a demora em responder. Na verdade estava lhe respondendo bem antes quando meu tablet avisou bateria fraca e apagou em seguida, de nada adiantando inserir o carregador rapidamente.

Cone e pirâmide têm apótemas diferentes.
--> apótema do cone = segmento que vai do vértice até um ponto da base circular fazendo ângulo reto com a tangente nesse ponto;
--> apótema da pirâmide = altura da face triangular (da pirâmide de base equilátera).

Na minha primeira resposta, x e h não são alturas são apótemas. Chamei erradamente de altura devido a uma extensão de raciocínio. O comprimento da linha curva de um segmento circular é θ.r (este é o raio do segmento circular originado do corte do cone pelo seu apótema) e sua área é calculada igual se fosse um triângulo (base*altura/2), ou seja, θ.r²/2. Como o que a questão pede é uma relação entre alturas e essa relação é constante, a relação entre apótemas será a mesma (Tales prova)

E porque pude considerar o apótema do cone igual ao da pirâmide? Quando fazemos a base da pirâmide com infinitas arestas, mantendo o mesmo perímetro, equivale a fazer a medida de cada aresta tendendo a zero; neste caso o apótema da pirâmide e o do cone confundem-se na mesma linha.

A minha segunda resposta dirime essa confusão.

Contudo, embora eu adore soluções heterodoxas, a solução ortodoxa dada pelo Élcio é a melhor: é direta, é simples e é a esperada pelo originador da questão. Eu, quando fui resolver, também vislumbrei esse caminho mas fiquei com preguiça de dar continuidade e achei que o segmento circular iria ser mais rápido (não foi). Inclusive a pressa e a preguiça era tanta que nem escrevi, usei o fala-escreve do celular (créditos ao George Orwell).

Imagina, Medeiros! Fique tranquilo, imaginei que devia ter ocorrido algum imprevisto.

Muito obrigado pelo esclarecimento, agora consegui entender perfeitamente. Muito obrigado por toda a ajuda nessa questão!

E, mais uma vez, que raciocínio elegante; Extremamente interessante.