Perímetro da seção de um cubo - Aref

por Zeroberto Seg Out 23 2023, 19:16

Relembrando a primeira mensagem :

É dado um cubo \(ABCD A_1 B_1 C_1 D_1\), com aresta a. Sobre a resta \(C_1 D_1\) toma-se um ponto L, com \( C_1 L = \frac{3a}{4} \); sobre a aresta \(A_1 B_1\) toma-se o ponto M, com \( A_1 M = \frac{a}{2} \); sobre a aresta \( BB_1\), toma-se o ponto N, com \(B_1 N = \frac{a}{4} \). Calcule o perímetro da seção determinada no cubo, por um plano conduzido pelos pontos L, M e N.

\(Gabarito: 2p = \frac{a}{8} (2\sqrt17 + 5\sqrt5 + \sqrt65) \)

por **petras** Ter Nov 21 2023, 00:51

Medeiros escreveu:
petras escreveu:Pode ter sido coragem demais...rsss

Mas sendo MN || LE e B1N || C1E não teríamos o ângulo MNB1 congruente com LEC1?
Grato pela atenção da resposta, Petras.

Mas aí é que está o ponto que me enrosca: como podemos garantir que LE // MN se não sabemos ainda onde está o ponto E? Pois é justamente a posição do ponto E que desejamos descobrir, depois fica fácil.

Eu tinha até modificado a resposta ...vou pensar com mais cuidado sobre o porque das restas B!N e C!E serem paralelas

por **petras** Ter Nov 21 2023, 08:35

Medeiros escreveu:
petras escreveu:Pode ter sido coragem demais...rsss

Mas sendo MN || LE e B1N || C1E não teríamos o ângulo MNB1 congruente com LEC1?
Grato pela atenção da resposta, Petras.

Mas aí é que está o ponto que me enrosca: como podemos garantir que LE // MN se não sabemos ainda onde está o ponto E? Pois é justamente a posição do ponto E que desejamos descobrir, depois fica fácil.

Um outro colega explicou que:

Na geometria sólida, duas linhas em dois planos paralelos são consideradas paralelas. Se essas duas linhas estão em um plano que cruza os dois planos paralelos, então elas são paralelas no plano intersetorial

por **Medeiros** Ter Nov 21 2023, 12:18

petras escreveu:
Medeiros escreveu:
petras escreveu:Pode ter sido coragem demais...rsss

Mas sendo MN || LE e B1N || C1E não teríamos o ângulo MNB1 congruente com LEC1?
Grato pela atenção da resposta, Petras.

Mas aí é que está o ponto que me enrosca: como podemos garantir que LE // MN se não sabemos ainda onde está o ponto E? Pois é justamente a posição do ponto E que desejamos descobrir, depois fica fácil.
Um outro colega explicou que:
Na geometria sólida, duas linhas em dois planos paralelos são consideradas paralelas. Se essas duas linhas estão em um plano que cruza os dois planos paralelos, então elas são paralelas no plano intersetorial

Perfeito, Petras. Está provado.
Tão óbvio e eu não enxerguei isso. Essa é para não esquecer mais.
Obrigado.

por Zeroberto Ter Nov 21 2023, 13:46

Caramba, que explicação excelente de todos. Os desenhos, as dúvidas, as contas.
Giovana, Medeiros e Petras, muito obrigado por toda a ajuda! Vocês são feras!

por **petras** Ter Nov 21 2023, 14:37

Medeiros escreveu:
petras escreveu:
Medeiros escreveu:
petras escreveu:Pode ter sido coragem demais...rsss

Mas sendo MN || LE e B1N || C1E não teríamos o ângulo MNB1 congruente com LEC1?
Grato pela atenção da resposta, Petras.

Mas aí é que está o ponto que me enrosca: como podemos garantir que LE // MN se não sabemos ainda onde está o ponto E? Pois é justamente a posição do ponto E que desejamos descobrir, depois fica fácil.
Um outro colega explicou que:
Na geometria sólida, duas linhas em dois planos paralelos são consideradas paralelas. Se essas duas linhas estão em um plano que cruza os dois planos paralelos, então elas são paralelas no plano intersetorial
Perfeito, Petras. Está provado.
Tão óbvio e eu não enxerguei isso. Essa é para não esquecer mais.
Obrigado.

Outras justificativas:

MN e LE são paralelas por estarem nas linhas de intersecção de um plano com dois planos paralelos entre si

ou

Os planos NML e as faces inferior e esquerda do cubo se cruzam em um ponto P.
Com centro P, os triângulos B1MN e C1EL são perspectivados e estão localizados em planos paralelos, portanto são semelhantes.