(ITA-1959) Raízes da equação

por **Jigsaw** Dom 15 Out 2023, 14:26

2.2) A equação [latex]ax^3+bx^2+bx+a=0[/latex] admite sempre duas raízes cujo produto é 1, quaisquer que sejam [latex]a\neq 0[/latex] e [latex]b[/latex].

A afirmativa é VERDADEIRA ou FALSA (demonstre)?

Spoiler:

por **Giovana Martins** Dom 15 Out 2023, 14:57

Note que x = - 1 é raiz do polinômio, pois P(- 1) = 0. Por Briot - Ruffini: P(x) = (x + 1)[ax² - (a - b)x + a].

Por Bhaskara em "ax² - (a - b)x + a" descobre-se as outras duas raízes, quais sejam:

[latex]\mathrm{x_{2,3}=\frac{a-b\pm \sqrt{(b-a)^2-4a^2}}{2a}\ \therefore\ x_2x_3=a^4}[/latex]

Portanto, a afirmativa é falsa uma vez que para a diferente de 1, tem-se que o produto das raízes 2 e 3, por exemplo, é diferente de 1.

Nota: da forma como estão dispostos os coeficientes "a" e "b" conclui-se que trata-se de uma equação peculiar conhecida por "equação recíproca de primeira espécie". Talvez de para desenvolver a questão de outra forma sabendo desta informação.

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