Domínio de uma função

por Júliawww_520 Sáb 07 Out 2023, 07:18

O domínio da função real f de variável real, definida por

é:
A) [1,100]
B) ]0,3[ união ]3,100]
C) ]1,3[ união ]3,100]
D) ]0,100]
E) [1,3[
Resposta: [1,3[

Eu não entendi pq não pode ser ]0,3[ união ]3,100]

por **Giovana Martins** Sáb 07 Out 2023, 07:50

As funções trigonométricas inversas de seno do tipo p(x) = arcsin(x) tem imagem compreendida em [-∏/2,∏/2]. Pouco importa como varia o argumento x, isto é, se tivéssemos p(x) = arcsin(x³) ainda assim a imagem de f(x) seria [-∏/2,∏/2], pois não é este argumento que influencia a imagem da função p(x) = arcsin(x). Deste modo, sabemos que as ordenadas y = ± ∏/2 pertencem à função p(x) = arcsin(log(x/10)) dada pelo enunciado e que estes valores são os valores máximo e mínimo de p(x) = arcsin(log(x/10)). Como p(x) = arcsin(x) é contínua, portanto, ao fazermos arcsin(log(x/2)) = ± ∏/2 encontramos os valores de x que tornam p(x) máxima e mínima. Fazendo a intersecção destes valores com a condição x > 0 devido ao fato de que o logaritmando deve ser maior do que 0, chegamos no domínio de p(x). Esta primeira etapa que eu descrevi encontram-se nos passos (i), (ii) e (iii).

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Sendo\ p(x)=arcsin\left [ log\left ( \frac{x}{10} \right ) \right ]:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C.E.:\frac{x}{10}>0\to x>0\ (i)}\\\\ \mathrm{arcsin\left [ log\left ( \frac{x}{10} \right ) \right ]=\pm \frac{\pi }{2}\to log\left ( \frac{x}{10} \right )=\pm 1\to x=\left ( 1,100 \right )\ \therefore\ 1\leq x\leq 100\ (ii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i)\ \cap \ (ii)\to 1\leq x\leq 100\ (iii)}\\\\ \mathrm{Sendo\ q(x)=\sqrt[4]{\mathrm{9x-x^3}}\ \therefore\ Raiz\ de\ indice \ par\to 9x-x^3\geq 0\to x\leq -3\ \cup \ 0\leq x\leq 3\ (iv)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ Sendo\ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\ \therefore\ D(f)=D(p)\ \cap \ D(q)=(iii)\ \cap\ (iv)\ \therefore\ \boxed{\mathrm{D(f)=1\leq x< 3}}}[/latex]

Note que se x = 3 no denominador, tem-se q(x) = 0, mas no denominador não podemos ter valor nulo, motivo pelo qual eu excluí o valor 3 do domínio de f(x).

A propósito, não pode ser a união que você indicou pelo seguinte: ao fazer esta união você garante valores para os quais uma função está definida, porém, indiretamente você garante valores para os quais a outra função não está definida. Ao longo da resolução eu vou fazendo intersecções justamente para pegar somente os valores que vale para todas as funções simultaneamente para que nenhuma.

Se houver dúvidas, avise.