Força de atrito miníma

por Gabriel Voltolini Qua 04 Out 2023, 12:11

A figura a seguir representa uma mola ideal de constante elástica k, presa em uma parede P e um bloco de massa M em repouso, numa superfície plana e horizontal S. Sobre esse bloco, repousa um outro, de massa m.
Existe atrito entre os blocos, mas supõe-se a ausência de atrito na superfície S. Além disso, as influências do ar são desprezadas.
Afastando o bloco de massa M da posição de equilíbrio e liberando o sistema, ele passa a oscilar com amplitude A.
Força de atrito miníma YapAIuhxAAAAABJRU5ErkJggg==

Força de atrito miníma YapAIuhxAAAAABJRU5ErkJggg==

Determine, sendo g a intensidade do campo gravitacional local.
a) O período de oscilação T, supondo de um bloco não se mova em relação ao outro.
b) A expressão do coeficiente de atrito estático entre os blocos para garantir que um deles não se mova em relação ao outro.

A questão tem a) e b), consegui fazer a a) com facilidade mas na minha conta da b) está faltando um termo, segue como resolvi:
Força de atrito miníma A4XBXmnvUnbjAAAAAElFTkSuQmCC

Força de atrito miníma A4XBXmnvUnbjAAAAAElFTkSuQmCC

Resposta;

Força de atrito miníma B+dG6phBwqVUQAAAABJRU5ErkJggg==

Pelo que entendi ele considerou a normal sobre a superfície S, então ficaria |N|=(M+m)g, mas por que está consideração da normal "sentida" pela superfície sendo que o atrito está entre os blocos?

por **Giovana Martins** Qua 04 Out 2023, 18:45

Esta força F que você indica seria a força elástica, correto?

Se for isso, o seu diagrama de forças está incorreto, pois sobre o corpo de massa "m" não há a atuação da força elástica. Sobre o corpo de massa "m" atuam somente as forças peso, atrito e normal que o corpo de massa "M" exerce sobre "m".

O que você poderia ter feito seria substituir os corpos de massa "M" e "m" por um corpo fictício de massa "M + m".

Para o corpo fictício vale:

Fe = (M + m)a = kA → a = kA/(M + m) (i)

Voltando para o sistema de duas massas, para o corpo de massa "m" vale:

Fat = Nμ = mgμ ≥ ma → gμ ≥ a (ii)

De (i) e (ii):

μ ≥ kA/[(M + m)g]

Eu só tenho um problema com o maior ou igual. Se eu não estiver falando bobagem, para mim deveria ser μ > kA/[(M + m)g], pois na igualdade a meu ver o corpo entrará em movimento. De qualquer modo, o enunciado entende que na igualdade o corpo estará na iminência de se mover.

por Gabriel Voltolini Qua 04 Out 2023, 21:15

Giovana Martins escreveu:
Esta força F que você indica seria a força elástica, correto?

Se for isso, o seu diagrama de forças está incorreto, pois sobre o corpo de massa "m" não há a atuação da força elástica. Sobre o corpo de massa "m" atuam somente as forças peso, atrito e normal que o corpo de massa "M" exerce sobre "m".

O que você poderia ter feito seria substituir os corpos de massa "M" e "m" por um corpo fictício de massa "M + m".

Para o corpo fictício vale:

Fe = (M + m)a = kA → a = kA/(M + m) (i)

Voltando para o sistema de duas massas, para o corpo de massa "m" vale:

Fat = Nμ = mgμ ≥ ma → gμ ≥ a (ii)

De (i) e (ii):

μ ≥ kA/[(M + m)g]

Eu só tenho um problema com o maior ou igual. Se eu não estiver falando bobagem, para mim deveria ser μ > kA/[(M + m)g], pois na igualdade a meu ver o corpo entrará em movimento. De qualquer modo, o enunciado entende que na igualdade o corpo estará na iminência de se mover.

Meu erro então foi considerar a aceleração que a mola causa, afinal a mola acelera um corpo de massa M+m, obrigado.
Só fiquei com uma dúvida, no caso não representei no diagrama de forças, mas acabei fazendo uma mudança de referencial afim de analisar as forças em m, no caso adicionei outra força F afim de anular F de M e para manter o sistema igual adicionei F em m, no sentido contrário ao F original de M, ainda desta forma estaria incorreto eu ter criado essa força fictícia?

por Zeroberto Qua 04 Out 2023, 21:24

Fiquei me batendo uns minutos com essa questão hoje mais cedo, chegava na mesma resposta do colega, mesmo colocando e recolocando forças. Analisei os corpos separadamente, vou compartilhar o raciocínio, pois está faltando uma força no desenho proposto.
Segue uma representação das forças no bloco:

Bloco 1, pela segunda lei de Newton:

\( F_e - F_{at} = Ma \implies KA - \mu mg = Ma \implies a = \frac{KA- \mu mg}{M} \)

No bloco 2, sabendo que a força de atrito que não o deixa escorregar deve ser maior que a resultante:

\( F_{at} \geq m.a \implies \mu mg \geq m.a \implies \mu g \geq \frac{KA- \mu mg}{M} \implies \mu Mg \geq KA- \mu mg \therefore \)

\( \boxed{\mu \geq \frac{KA}{g(M+m)}} \)

por **Giovana Martins** Qua 04 Out 2023, 21:47

Gabriel Voltolini escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Esta força F que você indica seria a força elástica, correto?

Se for isso, o seu diagrama de forças está incorreto, pois sobre o corpo de massa "m" não há a atuação da força elástica. Sobre o corpo de massa "m" atuam somente as forças peso, atrito e normal que o corpo de massa "M" exerce sobre "m".

O que você poderia ter feito seria substituir os corpos de massa "M" e "m" por um corpo fictício de massa "M + m".

Para o corpo fictício vale:

Fe = (M + m)a = kA → a = kA/(M + m) (i)

Voltando para o sistema de duas massas, para o corpo de massa "m" vale:

Fat = Nμ = mgμ ≥ ma → gμ ≥ a (ii)

De (i) e (ii):

μ ≥ kA/[(M + m)g]

Eu só tenho um problema com o maior ou igual. Se eu não estiver falando bobagem, para mim deveria ser μ > kA/[(M + m)g], pois na igualdade a meu ver o corpo entrará em movimento. De qualquer modo, o enunciado entende que na igualdade o corpo estará na iminência de se mover.
Meu erro então foi considerar a aceleração que a mola causa, afinal a mola acelera um corpo de massa M+m, obrigado.
Só fiquei com uma dúvida, no caso não representei no diagrama de forças, mas acabei fazendo uma mudança de referencial afim de analisar as forças em m, no caso adicionei outra força F afim de anular F de M e para manter o sistema igual adicionei F em m, no sentido contrário ao F original de M, ainda desta forma estaria incorreto eu ter criado essa força fictícia?

Gabriel, vou ser honesta contigo. Nesta vida eu já estudei estas mudanças de referenciais e estas forças fictícias às quais você se referiu. O problema é que eu não lembro muita coisa desse assunto. Faz anos que estudei isso. Enfim, eu não sei onde você errou ao fazer esta mudança de referencial, pois a princípio eu achava que a F indicada no seu desenho era a força elástica. O que eu posso dizer para você é que no fim de semana eu posso pegar os meus materiais de estudo para tentar relembrar o assunto e tentar propor uma solução do jeito que você quer. Se você não se importar, posso tentar fazer isto.

Eu simplesmente optei por fazer da forma mais simples no meu julgamento, isto é, sem fazer nenhuma mudança de referencial.

por Gabriel Voltolini Qua 04 Out 2023, 22:11

Obrigado pela resposta também Zeroberto, ajuda a ampliar as ideias, gosto de fazer esses exercícios tensos, ajudam a compreender melhor tudo.

Acredito não ter necessidade Giovana, mas agradeço mesmo assim. O problema na minha conclusão ali estava principalmente em ter esquecido de achar o valor de a, que você citou de criar um corpo de massa M+m, na força resultante do sistema e aplica-la em m. Fazendo está consideração criar a força F que citei nada mais que seria que dizer a equação que você já escreveu; "Fat = Nμ = mgμ ≥ ma → gμ ≥ a"
Então nos fins das contas tentar resolver do jeito que fiz é quase igual ao que você fez, acabei complicando o exercício atoa KKKKKKKKKKK.