Homotetia 1

A construção do círculo de nove pontos (círculo de Euler) pode ser feita por diversas formas. Julgue as afirmações abaixo sobre este objeto como verdadeiras ou falsas.

I. É a imagem homotética do círculo circunscrito a um triângulo por uma homotetia que tem centro no baricentro e razão 1/2. --->  FALSO, o centro do círculo de Euler fica no ponto médio do segmento CH (circuncentro-ortocentro), não fica no baricentro.

II. É o círculo que tem centro no ponto médio do segmento que liga o ortocentro e o circuncentro e raio igual à metade do raio do círculo circunscrito ao triângulo inicial. --->  VERDADE.

III. É a imagem homotética do círculo circunscrito a um triângulo por uma homotetia que tem centro no ortocentro do triângulo inicial e razão 1/2. ---> FALSO, o centro está errado --->  VERDADE, conforme indicado pelo colega Petras

IV. É o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que ligam o ortocentro aos pontos sobre o círculo circunscrito. ---> VERDADE, inclusive três dos nove pontos são os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices do triângulo.

V. É a imagem homotética do círculo circunscrito a um triângulo por uma homotetia que tem centro no baricentro do triângulo inicial e razão -1/2. --->  FALSO, já dissemos que o centro não está no baricentro do triângulo original. --->  VERDADE, conforme indicado pelo colega Petras

VI. É a imagem homotética do círculo circunscrito a um triângulo por uma homotetia que tem centro no ortocentro do triângulo inicial e razão -1/2. --->  FALSO, o centro não fica aí.
a) VVVVFF
b) FVVVVF
c) FFFVVV
d)FVVFVF
e) VFFFFV

encontrei  FVFVFF, que não atende a nenhuma das alternativas.

Resposta: FVVFVF = (d) <--- com ajuda do colega Petras (mensagem abaixo)

Medeiros escreveu:A construção do círculo de nove pontos (círculo de Euler) pode ser feita por diversas formas. Julgue as afirmações abaixo sobre este objeto como verdadeiras ou falsas.

I. É a imagem homotética do círculo circunscrito a um triângulo por uma homotetia que tem centro no baricentro e razão 1/2. --->  FALSO, o centro do círculo de Euler fica no ponto médio do segmento CH (circuncentro-ortocentro), não fica no baricentro.

II. É o círculo que tem centro no ponto médio do segmento que liga o ortocentro e o circuncentro e raio igual à metade do raio do círculo circunscrito ao triângulo inicial. --->  VERDADE.

III. É a imagem homotética do círculo circunscrito a um triângulo por uma homotetia que tem centro no ortocentro do triângulo inicial e razão 1/2. ---> FALSO, o centro está errado

IV. É o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que ligam o ortocentro aos pontos sobre o círculo circunscrito. ---> VERDADE, inclusive três dos nove pontos são os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices do triângulo.

V. É a imagem homotética do círculo circunscrito a um triângulo por uma homotetia que tem centro no baricentro do triângulo inicial e razão -1/2. --->  FALSO, já dissemos que o centro não está no baricentro do triângulo original.

VI. É a imagem homotética do círculo circunscrito a um triângulo por uma homotetia que tem centro no ortocentro do triângulo inicial e razão -1/2. --->  FALSO, o centro não fica aí.
a) VVVVFF
b) FVVVVF
c) FFFVVV
d)FVVFVF
e) VFFFFV

encontrei  FVFVFF, que não atende a nenhuma das alternativas.

Medeiros. creio que você se enganou nos itens III e V que são verdadeiros..a comanda não diz que o centro do círcullo de 9 pontos está no baricentro ou ortocentro mas que a homotetia foi construida a partir destes pontos com a razão 1/2 e -1/2. Já chequei no geogebra e está correto esta consrtução

Tem razão, Petras. Obrigado pela correção. Fiz uma leitura apressada e não interpretei direito o texto. Já fiz a correção na mensagem acima.

Não tenho o Geogebra instalado mas é uma ótima ferramenta para verificação.

Medeiros escreveu:Tem razão, Petras.  Obrigado pela correção. Fiz uma leitura apressada e não interpretei direito o texto. Já fiz a correção na mensagem acima.

Não tenho o Geogebra instalado mas é uma ótima ferramenta para verificação.

Seria letra b) F-V-V-V-V_F

O erro do item I seria na razão que deveria ser -1/2 e do item VI a razão deveria ser 1/2