Geometria plana

por Caahdo8 Seg 17 Jul 2023, 16:45

Considere a região hachurada, no interior do círculo de centro o, limitada por semicircunferências, conforme mostra a figura a seguir. se a área dessa região é 108πcm² e am = mn = nb, então a medida ab, em centímetros, é?

Geometria plana Fomf4XvoCnjg8cGDoAAAAASUVORK5CYII=

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por Alien supremo Seg 17 Jul 2023, 17:38

[latex]am=mn=nb=2x[/latex]

Área da semi-circunferência an e am:

[latex]Asan=\frac{\pi R^{2}}{2}=\frac{\pi(2x)^{2}}{2}=2\pi x^{2}[/latex]

[latex]Asam=\frac{\pi R^{2}}{2}=\frac{\pi(x)^{2}}{2}=\frac{\pi x^{2}}{2}[/latex]

[latex]Ai=Asan-Asam[/latex]

[latex]Ai=\frac{2\pi x^{2}}{1}-\frac{\pi x^{2}}{2}[/latex]

[latex]Ai=\frac{3\pi x^{2}}{2}[/latex]

[latex]Ai=Aii[/latex]

[latex]Ar=Ai+Aii[/latex]

[latex]108\pi=\frac{6\pi x^{2}}{2}[/latex]

[latex]x=6[/latex]

[latex]ab=36cm[/latex]

por **Medeiros** Sáb 22 Jul 2023, 17:23

Nestes casos eu tenho um truque que é considerar a área hachurada AMN como se fosse um triângulo isósceles com a ponta entortada. Desta forma a base é MN e sua altura (h) é a linha média entre os semicírculos.

Pela simetria, metade da área hachurada vale 108.pi/2 = 54.pi