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Caso SPI do sistema linear

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Resolvido Caso SPI do sistema linear

Mensagem por Confúcia Sáb 08 Jul 2023, 22:27

Boa noite, tentei resolver um exercício de sistemas lineares e fiquei com dúvida em um dos casos encontrados. Eis o enunciado do problema:

Considere o sistema linear nas três variáveis x, y, z
x + y + kz = 1
x + ky + z = 1
kx + y + z = 1

Determinar os valores de k o sistema tem: solução única, infinitas soluções ou nenhuma
solução.
Nos casos onde tiver solução, resolver o sistema.

Montei a equação matricial AX=B e tentei encontrar os valores de k em que o det A≠0:
-k³+3k-2=0
Fatorando descobri que det A=0 quando k=1 ou k=-2.

Desta forma podemos simplificar a matriz aumentada [A l B] e ficamos com o seguinte sistema:
z = 1/(k + 2)
y-z = 1
x-z = 1
Então no caso da solução única temos (k+3/k+2, k+3/k+2, 1/k+2).

Beleza, agora fiquei em dúvida do que devo fazer para encontrar os valores de k no caso de infinitas soluções. Pela condição de existência que fiz do sist. vi que não é possível ter solução quando k=2 por causa do denominador. Também deixei o sistema na forma escalonada reduzida e vi que nenhuma das linhas "some" no processo, então nesse caso como temos o número de equações igual ao número de incógnitas, não há infinitas soluções. Será que é isso mesmo?

*Obs.: SPI = Sistema Possível e Inderterminado


Última edição por Confúcia em Sáb 08 Jul 2023, 23:01, editado 3 vez(es)

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Resolvido Re: Caso SPI do sistema linear

Mensagem por JaquesFranco Sáb 08 Jul 2023, 22:35

Boa noite.

Não sei se entendi muito bem, mas acho que você conseguiu resolver completamente o problema. para k = -2 (sistema impossível), para k = 1 (infinitas soluções) e para k diferente de {1,-2} solução única.
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Resolvido Re: Caso SPI do sistema linear

Mensagem por Confúcia Sáb 08 Jul 2023, 22:43

JaquesFranco escreveu:Boa noite.

Não sei se entendi muito bem, mas acho que você conseguiu resolver completamente o problema. para k = -2 (sistema impossível), para k = 1 (infinitas soluções) e para k diferente de {1,-2} solução única.
Oi Jaques, é que quando deixei o sistema na forma escalonada reduzida ele ficou 3x3, quando é assim não tenho certeza se o caso de infinitas soluções se aplica.

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Resolvido Re: Caso SPI do sistema linear

Mensagem por JaquesFranco Sáb 08 Jul 2023, 22:56

Confúcia escreveu:
JaquesFranco escreveu:Boa noite.

Não sei se entendi muito bem, mas acho que você conseguiu resolver completamente o problema. para k = -2 (sistema impossível), para k = 1 (infinitas soluções) e para k diferente de {1,-2} solução única.
Oi Jaques, é que quando deixei o sistema na forma escalonada reduzida ele ficou 3x3, quando é assim não tenho certeza se o caso de infinitas soluções se aplica.
Aplica sim! se não cometer erros durante o processo, a teoria continua valendo.

Faça k = 1, e teremos um sistema com 3 incógnitas e 1 equação (as 3 ficam iguais), logo o sistema é SPI.
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Resolvido Re: Caso SPI do sistema linear

Mensagem por Confúcia Sáb 08 Jul 2023, 22:58

Pera, acho que compreendi, acabei confundindo um pouco a parte de k e os valores de x, y e z do sistema. Então temos os seguintes casos para o sistema:
1º caso (solução única):
S=(k+3/k+2, k+3/k+2, 1/k+2), k∈ ℝ -{-2,1}
2º caso (nenhuma solução):
k=2
3º caso (infinitas soluções):
k=1
S=(1-α-β, α, β)

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Resolvido Re: Caso SPI do sistema linear

Mensagem por JaquesFranco Sáb 08 Jul 2023, 23:04

Confúcia escreveu:Pera, acho que compreendi, acabei confundindo um pouco a parte de k e os valores de x, y e z do sistema. Então temos os seguintes casos para o sistema:
1º caso (solução única):
S=(k+3/k+2, k+3/k+2, 1/k+2), k∈ ℝ -{-2,1}
2º caso (nenhuma solução):
k=2
3º caso (infinitas soluções):
k=1
S=(1-α-β, α, β)
Perfeito, apenas note que para k = -2 o sistema é impossível, e não para k = 2.
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