Sistema linear

por **Ashitaka** Sex 26 Dez 2014, 17:45

Em que condições o sistema só admite a solução trivial?
Sistema linear 0dYmqsU

por **Carlos Adir** Sex 26 Dez 2014, 19:01

Já tentou por matrizes? Normalmente quando se tem um sistema 3x3 com 3 incógnitas, eu jogo os valores dentro da matriz e escalono-a:
$\begin{bmatrix}k_1+k_2 & k_2-k_3 & k_1 - k_3 & 0\\ k_2 - k_1 & k_2 + k_3 & k_3 - k_1 & 0\\ k_1 - k_2 & k_3 - k_2 & k_3 + k_1 & 0 \end{bmatrix}$
Obtemos então:
$\begin{bmatrix}2k_1 & 0 & 2k_1 & 0\\ 0 & 2k_3 & 2k_3 & 0\\ 2k_1 & 0 & 2k_1 & 0 \end{bmatrix}=2^3 \begin{bmatrix}k_1 & 0 & k_1 & 0 \\ 0 & k_3 & k_3 & 0 \\ k_1 & 0 &k_1 & 0 \end{bmatrix}$

Não estou muito bom em algebra linear, então não posso lhe ajudar muito, mas caso isso te ajude, está ai.

Se puder observar também, temos que sempre teremos 2 incógnitas e seus sinais variam com uma certa lógica:
$\\ k_1 \Rightarrow \begin{bmatrix}+ & 0 & + & 0 \\ - & 0 & - & 0 \\ + & 0 & + &0 \end{bmatrix} \\ k_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} + & + & 0 & 0 \\ + & + & 0 & 0 \\ - & - & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ k_3 \Rightarrow \begin{bmatrix}0&-&-&0 \\ 0 & + & + & 0 \\ 0 & + & + & 0 \end{bmatrix}$
Não consegui aproveitar essa lógica pra simplificar mais.

por **Ashitaka** Sex 26 Dez 2014, 21:57

Eu fiz por matrizes e justamente por elas que se obtem resultados diferentes, como fiz ali D:

por Luck Sex 26 Dez 2014, 22:23

Como o sistema é homogêneo, então admite solução trivial (0,0,0), assim para admitir apenas esta solução basta que ∆ ≠ 0 (S.P.D).
| (k1+k2)---(k2-k3)---(k1-k3)-|
| (k2-k1)---(k2+k3)---(k3-k1)-| ≠ 0
| (k1-k2)---(k3-k2)---(k3+k1)-|
faça L3 --> L3 + L2
depois C2 --> C2 - C3
fazendo isso irá anular a[31] e a[32], então aplicando Laplace na última linha vc irá obter:
2k3( (k2+k1)² - (k2-k1)² ) ≠ 0
2k3 ( k2² + k1² +2k1k2 - k2² -k1² + 2k1k2 ) ≠ 0
8k1k2k3 ≠ 0
k1 ≠ 0 , k2 ≠ 0 , k3 ≠ 0 .

por **Ashitaka** Sex 26 Dez 2014, 22:25

Luck, nisso eu cheguei já. A minha dúvida é a que escrevi na imagem.

por Luck Sex 26 Dez 2014, 22:33

Ashitaka escreveu:Luck, nisso eu cheguei já. A minha dúvida é a que escrevi na imagem.

O que escrevi são condições suficientes.

por **Ashitaka** Sex 26 Dez 2014, 22:41

Mas e as que encontrei? O que há de errado com elas? Não há coisas que elas englobam que as outras ali não englobam?

por Luck Sex 26 Dez 2014, 23:00

Ashitaka escreveu:Mas e as que encontrei? O que há de errado com elas? Não há coisas que elas englobam que as outras ali não englobam?

Fazer ∆ ≠ 0 já é suficiente pelo que expliquei acima, então se vc fez isso como achou outras restrições?
Indo contra a sua restrição, por exemplo :
sejam k1= k3 = 1 e k2 = -1, teríamos

0x -2y + 0z = 0 --> y = 0
-2x +0y + 0z = 0 --> x = 0
2x + 2y + 2z = 0 --> z = 0
então k1≠k3 , k1≠-k2 , k2≠ k3 não são restrições.