Questão de números complexos

Determine z² = 1 + (raíz de três)i sem usar o método da forma trigonométrica. Travei nas equações e não consigo prosseguir. Gratidão desde já!

Seja \( 1 + i \sqrt{3} = ( a + bi)^2 \). Assim, extraindo o módulo das duas parcelas da igualdade,
\[
\sqrt{ 1^2 +( \sqrt{3})^2 } = \left( \sqrt{ a^2 + b^2} \right)^2 \implies a^2 + b^2 = 2
\]
\[
\begin{align*}
1 + i \sqrt{3} & = ( a + bi )^2 \\
& = a^2 - b^2 + 2ab i
\end{align*} \implies \begin{cases} a^2 - b^2 = 1 \\ 2ab = \sqrt{3} \\ a^2 + b^2 = 2 \end{cases} \implies a = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \quad b = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Assim, ficamos com
\[
\begin{align*}
z^2 & = 1 + i \sqrt{3} \\
& = \left(\frac{  \sqrt{3} + i }{\sqrt{2}} \right)^2
\end{align*}
\]
que pela diferença de quadrados, retorna duas possibilidades para \(z \):
\[
z_1 = \frac{ \sqrt{3} + i }{\sqrt{2}} , \quad z_2 = - \frac{ \sqrt{3} + i }{\sqrt{2}}
\]