Soluções de uma Equação de números complexos - CEFET MG

por FelipeReis40 Seg 03 Abr 2023, 18:35

Considere as afirmações sobre as soluções da equação z² – z = 0, com z ∈ C :
I. Possui exatamente duas soluções.
II. A soma de todas as soluções é igual a 1.
III. O módulo de todas as soluções é menor ou igual a 1.
É(são) verdadeira(s) a(s) afirmação(ões):
a) I.
b) III.
c) I, II.
d) II, III.
e) I, II, III.
Eu só conseguir achar as soluções (0,0) e (1,0), mas pelo visto tem mais, como encontrá-las ?
Gabarito Letra B

por **Elcioschin** Ter 04 Abr 2023, 11:03

Fazendo z = x + y.i

z² - z = (x + y.i)² - (x + y.i)

z² - z = (x² - y² - x) + y.(2.x - 1).i --> Equações:

y.(2.x - 1) = 0 ---> I ---> duas soluções: x = 1/2 e y = 0

x² - y² - x = 0 ---> II

Para x = 1/2 ---> (1/2)² - y² - 1/2 ---> y² = 1/4 ---> y = - 1/2 ou y = 1/2

Para y = 0 ---> x² - x = 0 ---> x.(x - 1) = 0 ---> x = 0 ou x = 1

Complete

por FelipeReis40 Qua 05 Abr 2023, 09:47

Obrigado!

por FelipeReis40 Qua 05 Abr 2023, 10:05

Elcioschin escreveu:Fazendo z = x + y.i

z² - z = (x + y.i)² - (x + y.i)

z² - z = (x² - y² - x) + y.(2.x - 1).i --> Equações:

y.(2.x - 1) = 0 ---> I ---> duas soluções: x = 1/2 e y = 0

x² - y² - x = 0 ---> II

Para x = 1/2 ---> (1/2)² - y² - 1/2 ---> y² = 1/4 ---> y = - 1/2 ou y = 1/2

Para y = 0 ---> x² - x = 0 ---> x.(x - 1) = 0 ---> x = 0 ou x = 1

Complete

"Para x = 1/2 ---> (1/2)² - y² - 1/2 ---> y² = 1/4 ---> y = - 1/2 ou y = 1/2"
Aqui não seria [latex]y^{2}[/latex] = - [latex]\frac{1}{4}[/latex] ?

por **Giovana Martins** Sex 07 Abr 2023, 16:01

Acho que o seu enunciado está incorreto. Para chegar ao gabarito que você propôs a equação correta deveria ser z² - z' = 0, tal que z' é conjugado de z. Digo isto, pois na prova da CEFET a equação está diferente da que você postou aqui. Veja se você concorda (ver página 16): https://www.copeve.cefetmg.br/processos/20152_TRF/arquivos/provas/prova-transferencia-ensino-superior-2015-2-1-dia-engenharias/1

De acordo como está o enunciado da questão que você postou, segue a resolução.

z² - z = 0

(x + yi)² - x - yi = 0 + 0i

x² - y² + 2xyi - x - yi = 0 + 0i

(x² - y² - x) + (2xy - y)i = 0 + 0i

x² - y² - x = 0 (I) e 2xy - y = 0 (II)

De (II): y(2x - 1) = 0, o que implica (x,y) = (1/2,0).

De (I), para x = 1/2, vem:

(1/2)² - y² - (1/2) = 0, o que implica y = ± i/2.

Para este caso as soluções são:

z = {(1/2) - (1/2)i, (1/2) + (1/2)i}

De (I) para y = 0, vem:

x² - (0)² - x = 0, o que implica x = 0 ou x = 1

Para este caso as soluções são:

z = {0 + 0i, 1}

Apenas por desencargo de consciência, se você tiver dúvidas, irei testar todas as soluções encontradas para ver se as soluções que a gente encontrou, de fato, são as soluções da equação do enunciado.

Para z = (1/2) - (1/2)i: [(1/2) - (1/2)i]² - [(1/2) - (1/2)i] = 1/2 = 0 (Falso)

Para z = (1/2) + (1/2)i: [(1/2) + (1/2)i]² - [(1/2) + (1/2)i] = - 1/2 = 0 (Falso)

Para z = 0 + 0i: [0 + 0i]² - [0 + 0i] = 0 = 0 (Verdadeiro)

Para z = 1: (1)² - 1 = 0 = 0 (Verdadeiro)

Portanto, somente z = {0 + 0i, 1} são soluções da equação, o que confirma a proposição I.

A soma das soluções é dada por:

S = 0 + 0i + 1 + 0i = 1

Portanto, a proposição II também é verdadeira.

Para z = 0 + 0i, tem-se que |z| = 0, que é menor que 1.

Para z = 1 + 0i, tem-se que |z| = 1, que é igual a 1.

Portanto, a proposição III também é verdadeira.

Deste modo, a alternativa correta é a letra E.

A propósito, à noite eu posto uma resolução de acordo com o a equação que consta na prova da CEFET.

por FelipeReis40 Sex 07 Abr 2023, 22:53

Eu acabei de ver aqui na apostila que usei e eu escrevi o enunciado errado mesmo, desculpe pelo engano. Vou me atentar melhor nesse quesito. De qualquer forma, obrigado pela resolução, consegui entender muito bem.