Ímpares consecutivos

Determine os três menores números ímpares consecutivos tais que o primeiro seja múltiplo de 3; o segundo seja múltiplo de 5 e o terceiro, de 7, exceto os números 3, 5 e 7

Gab=213,215,217:

Ops

O enunciado fala em três números ímpares e seu gabarito mostra três números pares!

Perdão, mestre, já editei.

aoba!

três números consecutivos impares:
2n+1; 2n+3; 2n+5

2n+1 precisa ser múltiplo de 3.
2n+3 precisa ser um número que termine com 5.

2n+1 precisa ser um número que termine em 3, pois ao ser somado com 2 resultará em um múltiplo de 5.

isso diminui muito os múltiplos de 3.

múltiplos de 3 que terminam em 3:

3; 33, 63, 93, 123, 153, 183, 213, ...
5, 35, 65, 95, 125, 155, 185, 215, ...  

agora é preciso adicionar duas unidades e vê qual é divisível por 7

Em vez de ficarmos fazendo conta igual doido, é evidente que o a sequência de número resultará em um que tem nas unidades o número 7, basta acharmos os caso em que há 7 nas unidades,
7*1, 7*11, 7*21, 7*31
7, 77, 147, 217

Com aritmética modular:


Se o primeiro for 2n+1, temos:


    [latex]\begin{cases} 2n+1 \equiv 0 \mod 3\\ 2n+3 \equiv 0 \mod 5\\ 2n+5 \equiv 0 \mod 7 \end{cases} [/latex]

    [latex]\begin{cases} 2n-2 \equiv 0 \mod 3\\ 2n-2 \equiv 0 \mod 5\\ 2n-2 \equiv 0 \mod 7 \end{cases} [/latex]

Como 2 é comprimo com 3,5,7:

    [latex]\begin{cases} n-1 \equiv 0 \mod 3\\ n-1 \equiv 0 \mod 5\\ n-1 \equiv 0 \mod 7 \end{cases} [/latex]

Aqui dá para usar o teorema chinês do resto, mas é mais fácil perceber que n -1  é múltiplo de (3,5,7), portanto é múltiplo do mmc. Temos n-1 = 3*5*7 * k -> n-1 = 105k. Fazendo k=1 -> n-1 = 105 -> n = 106.

Portanto os ímpares são 2*106+1 = 213, 215, 217.

Obrigado, catwopir e tales Amaral, consegui compreender!
Abraços