Pontos Notáveis do Triângulo

Dado um triângulo ABC, com Â=90°, D é o ponto médio de BC, F é o ponto médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intercepta CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine PQ/QR

Resp. 7/5

Pra essa questão não é necessário que o triangulo seja retangulo. Não sei se há alguma maneira mais facil de resolver usando esse fato, mas uma ideia usada nesse tipo de questão é a seguinte: Se dois triangulos tem a mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual a razão entre as suas bases. Como vou usar bastante áreas, vou adotar a seguinte notação: Se X é um polígono, então [X] denotará a área de X.

Primeiro notamos que Q é incentro de ABC. Daí AQ/QD = CQ/QF = 2. Vamos analisar o triângulo ACF. Seja x = [PQF] e y  = [EPF]. Então temos:

\( \dfrac{[EPF]}{[AEP]} = \dfrac{EF}{AE} = 1 \implies [AEP] = [EPF] = y\)

\( \dfrac{[PQF]}{[PQC] } = \dfrac{QF}{CQ} = \dfrac 12 \implies [PQC] = 2[PQF] = 2x\)

\( \dfrac{[AQF]}{[AQC] } = \dfrac{QF}{CQ}  =\dfrac 12  \implies [APC] =2[APF] = 4y\)

\(\dfrac{[ACE]}{[CEF]} = \dfrac {AE}{EF} = 1 \implies 5y = 3x+y \implies \dfrac xy = \dfrac 43\)

\( \dfrac{[ACP]}{[CPQ]} = \dfrac{AP}{PQ} \implies \dfrac{AP}{PQ} = \dfrac{4y}{2x} = \dfrac 32 \implies \boxed{ \dfrac{PQ}{AQ} = \dfrac{2}{5} }\)

Agora passamos pro triangulo BCF. Sejam a = [FQR], b = [FRG] , c = [BRD]. Similarmente ao que fizemos anteriormente, isso implica que (veja figura)

\([CQR] = 2[FQR] = 2a\)

\([FRG] = [BRG] = b\)

\([BRD] = [CRD]  =c\)

Por outro lado,
 
\([FGC] = [BGC] \implies 3a+b = 2c + b \implies \dfrac ac = \dfrac 23\)

\(\dfrac{[CQR]}{[CRD]} = \dfrac{QR}{RD} \implies \dfrac{QR}{RD} = \dfrac{2a}{c} = \dfrac 43 \implies \boxed{\dfrac{QR}{QD} = \dfrac 47}\)


Portanto concluímos:

\(\dfrac{PQ}{QR} = \dfrac{\dfrac 25 AQ}{\dfrac 47 QD} = \dfrac 7{10} \cdot \dfrac{AQ}{QD} \implies \boxed{\dfrac{PQ}{QR} = \dfrac 75 }\)

O fato de ser um triângulo retângulo facilita, resolvendo por GA:

Elcioschin escreveu:O fato de ser um triângulo retângulo facilita, resolvendo por GA:

Realmente, muito bom. Nunca tinha pensado em fazer esse tipo de questão assim. E isso prova o caso geral também, pois transformações lineares preservam a razão entre segmentos, e qualquer triangulo pode ser levado nesse triangulo retangulo por uma transformação linear.

E ainda da pra supor que b = c pra facilitar mais a conta, daí a reta AD será y = x e daí já sabemos que P,Q,R tem coordenadas iguais.

Muitos estudantes de Geometria Plana, ao resolverem problemas mais complexos, tem dificuldades até para começar a resolver.

Eles tentam se lembrar de tudo que podem usar: semelhança de triângulos, Pitágoras, trigonometria, Lei dos senos, Lei dos cossenos, Relação de Stewarty, etc, etc, etc.

A maioria nem pensa em usar GA. Acontece que questões que envolvem figuras geométricas, tais como triângulos e suas bissetrizes e alturas, circunferências, etc. nem é necessário pensar muito. Basta:

1) Determinar equações de retas por meio de suas declividades e pontos pelos quais passam
2) Determinar equações das circunferências
3) Calcular ângulo entre duas retas e consequentemente ângulos das bissetrizes
4) Se a equação de uma reta tem declividade m, a equação da altura relativa a esta reta tem declividade
m' = - 1/m
etc.

No final temos um sistema de equações, e basta usar Álgebra para resolver!
Transformamos um sistema intrincado de Geometria Plana em Álgebra. René Descartes foi um gênio!