Progressões

Mostre que:



Estou tendo dificuldades em achar a razão e parece ser uma P.A.G, mas ainda não sei trabalhar com esse conceito.
Desde já agradeço!

Freya R. escreveu:Mostre que:



Estou tendo dificuldades em achar a razão e parece ser uma P.A.G, mas ainda não sei trabalhar com esse conceito.
Desde já agradeço!

Uma ideia que funciona pra somas do tipo

\(A =  x + 2  x^2 + 3  x^3 + 4  x^4+ \cdots\)

é multiplicar por x e subtrair, bem similar ao que é feito em soma da PG:

\( \displaystyle \begin{array}{ccccccccccccc}
A &  = &   x & + & 2  x^2 & + & 3  x^3 & + & 4  x^4 & + &5  x^5 & + & \cdots \\
- xA&  = &              &   -  &  x^2 & - & 2  x^3 & - & 3  x^4 & - &4  x^5 & - & \cdots \\
\hline
A-xA &= &  x & + &  x^2 & + &  x^3 & + &   x^4 & + &  x^5 & + & \cdots \\
\end{array}\)

Ou seja, supondo \(|x| < 1\) e usando a formula da soma da PG infinita temos

\( A - xA= A(1-x) = x + x^2 + x^3 + \cdots = \dfrac x{1-x} \implies \boxed{A= \dfrac{x}{(1-x)^2} }\)

Agora podemos aplicar isso nesse problema:

\( \displaystyle S = \sum_{i = 1}^\infty \dfrac{i}{4^{2i-2}} = \sum_{i =1} ^\infty \dfrac{i}{4^{-2} 4^{2i}} = 16 \sum_{i = 0}^\infty \dfrac {i}{16^i}\)

Sendo \(x = 1/16\), basta usar a formula que obtemos anteriormente. Ficamos com:

\( \displaystyle S = 16 \sum_{i = 0}^\infty i x^i = 16( 1 x + 2  x^2+3 x^3 + \cdots) = 16 \dfrac{x}{(1-x)^2}   = \dfrac{256}{225}\)


Obs.: Se vc sabe cálculo, pode obter a fórmula acima expandindo \(f(x) = 1/(1-x)\) em série de Taylor centrada em 0 e tomando sua derivada. A série procurada é justamente a expansão de \( xf'(x)\).

DaoSeek escreveu:

Freya R. escreveu:Mostre que:



Estou tendo dificuldades em achar a razão e parece ser uma P.A.G, mas ainda não sei trabalhar com esse conceito.
Desde já agradeço!

Uma ideia que funciona pra somas do tipo

\(A =  x + 2  x^2 + 3  x^3 + 4  x^4+ \cdots\)

é multiplicar por x e subtrair, bem similar ao que é feito em soma da PG:

\( \displaystyle \begin{array}{ccccccccccccc}
A &  = &   x & + & 2  x^2 & + & 3  x^3 & + & 4  x^4 & + &5  x^5 & + & \cdots \\
- xA&  = &              &   -  &  x^2 & - & 2  x^3 & - & 3  x^4 & - &4  x^5 & - & \cdots \\
\hline
A-xA &= &  x & + &  x^2 & + &  x^3 & + &   x^4 & + &  x^5 & + & \cdots \\
\end{array}\)

Ou seja, supondo \(|x| < 1\) e usando a formula da soma da PG infinita temos

\( A - xA= A(1-x) = x + x^2 + x^3 + \cdots = \dfrac x{1-x} \implies \boxed{A= \dfrac{x}{(1-x)^2} }\)

Agora podemos aplicar isso nesse problema:

\( \displaystyle S = \sum_{i = 1}^\infty \dfrac{i}{4^{2i-2}} = \sum_{i =1} ^\infty \dfrac{i}{4^{-2} 4^{2i}} = 16 \sum_{i = 0}^\infty \dfrac {i}{16^i}\)

Sendo \(x = 1/16\), basta usar a formula que obtemos anteriormente. Ficamos com:

\( \displaystyle S = 16 \sum_{i = 0}^\infty i x^i = 16( 1 x + 2  x^2+3 x^3 + \cdots) = 16 \dfrac{x}{(1-x)^2}   = \dfrac{256}{225}\)


Obs.: Se vc sabe cálculo, pode obter a fórmula acima expandindo \(f(x) = 1/(1-x)\) em série de Taylor centrada em 0 e tomando sua derivada. A série procurada é justamente a expansão de \( xf'(x)\).

Muito obrigada! Sei um pouco de cálculo, então as duas formas foram super interessantes para mim (: