Progressões

Se [tex] f(x)=x^2+3x+2[/tex] e A={1,2,...,2009,2010}, para quantos elementos x, pertencentes ao conjunto A, f(x) é divisível por 6?

Por acaso a resposta é 501?

Não, vou postar a solução

Veja:
A soma das raízes de f(x) é -3 e o produto é 2, as raízes são (-1,-2)
fatorando a função fica f(x)=(x+1)(x+2)
beleza, vemos que é o produto de dois números consecutivos, vou fazer a=x+1 para facilitar a visualização:
f(x)=6k=(x+1)(x+2)=(a)(a+1)
agora ficou legal, porque para o número ser múltiplo de 6 ele deve ser divizível por 2 e 3 simultaneamente, assim, vou fazer em 4 casos, (I) "a" múltiplo só de 3 e não de 2, (II) "a+1" múltiplo só de 3 e não de 2, (III) "a" múltiplo de 6 e (IV) "a+1" múltiplo de 6:
OBS, a< ou = (2010+1)
(I)
a=3*(1,3,...669) (veja que só tem números ímpares)
a=3*(1+0*2,1+1*2,...,1+334*2) (3*669=2009)
a+1= 4,10...2008
são 335 pares ordenados!
analogamente (II)
a+1= 3*(1,3,...669)
a+1=3*(1+0*2,1+1*2,...,1+334*2)
a= 2,8...,2006
335 pares ordenados
(III)
(a+1)=6*(1,2,...,335) (6*335=2010)
a= 5,11,...2009
335 pares ordenados
(IV)
a= 6*(1,2,...335)
a+1= 7,13...,2011
335 pares ordenados
assim:
teremos 4*335 pares ordenados = 1340

Eu tinha chegado nisso f(x)=(x+1)(x+2), a partir daí comecei a viajar... Kkkk! Obrigada! ^^