ita conjuntos

Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Analise as afirmações

[latex]I. (A-B^{C})-C^{C} = A\cap (B\cup C);\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: II. (A-B^{C})-C =A\cup (B\cap C^{C})^{C};\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: III. B^{C}\cup C^{C} = (B\cap C)^{C}[/latex]




Resposta: verdadeiro somente III

Nesse tipo de questão o mais fácil é vc fazer um desenho e se convencer

Também é possível manipular as expressões usando propriedades operatorias até obter algo mais facil de verificar se é verdadeiro ou falso. Isso pode ser util quando a expressão é muito grande, mas vc tem que saber as propriedades.

No item I
Lembrando que \(X - Y = X \cap Y^C\) temos:

\( A - B^C) - C^C = (A \cap (B^C)^C  ) - C^C = (A \cap B) - C^C = ( A \cap B)  \cap (C^C)^C = A \cap B \cap C  \neq A \cap (B \cup C)\)


Similarmente no item II encontramos

\( (A - B^C) - C = A \cap B \cap C^C \subset A\)

Já da pra ver que é falso, já que o lado esquerdo está dentro de A e o membro direito da igualdade contém A. Mas se quiser pode desenvolver o lado direito usando as leis de De Morgan:

\(A \cup (B \cap C^C)^C = A \cup (B^C \cup (C^C)^C = A \cup B^C \cup C \neq A \cap B \cap C^C \)



O item III é justamente uma das leis de De Morgan, portanto é verdadeira