Ucpel-Trigonometria

O valor de k, para que as equações  e  sejam válidas, simultaneamente, para todo α é
 a)
4
 b)
3
 c)
2
 d)
5
GABARITO LETRA C
Pessoal tentei ir pela fundamental da trigonometria e pelas regras dos radicandos(≥0) e denominadores(≠0),consegui apenas por dedução dos valores das alternativas em K daí deu a letra C,mas só depois de ir corrigir...
Tem outro modo de matar essa questão?
Agradeço desde já!

A equação não está aparecendo.

Condições de existência:
\[
-1 \leq \frac{ \sqrt{k-2}}{4} \leq 1 \ \land \ -1 \leq \frac{2}{k} \leq 1 \implies 2 \leq k \leq 18 \quad \land \quad \left( k \leq - 2 \ \lor \ k \geq 2 \right) \implies 2 \leq k \leq 18
\]
As expressões que não apareceram no enunciado são:

\[
\boxed{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{ k - 2} }{4}, \quad  \cos \alpha = \frac{2}{k}}
\]
Utilizando a RFT (relação fundamental da trigonometria):
\[
\begin{align*}
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & = 1  \\
\frac{k-2}{16} + \frac{4}{k^2} & = 1 \\
\frac{ k^2(k-2) + 16 \cdot 4 }{16k^2 } & = 1 \\
\frac{ k^3 -2k^2 + 64}{16k^2} & = 1 \\
\frac{k^3 - 18k^2 + 64}{16k^2 } & = 0 \\
\end{align*}
\]
Pelo teorema das raízes racionais, \( k = 2 \) é uma raiz de \( k ^3 - 18k^2 + 64 \):
\[
\begin{align*}
\frac{ k^3 - 18k^2 + 64}{16k^2 } & = 0 \\
\frac{ (k-2)(k^2 - 16k - 32)}{16k^2} & = 0 \\
\frac{ (k-2) \left[ \left( k -4 \right)^2 - 48 \right]}{16k^2} & = 0\\
\frac{ (k-2)  \left( k-4 - 4\sqrt{3} \right) \left( k - 4 + 4 \sqrt{3} \right)}{16k^2} & = 0 \\
\frac{ (k-2) \left( k - 4 (1 + \sqrt{3} \right)\left( k - 4 (1 - \sqrt{3} ) \right)}{16k^2} & = 0
\end{align*}
\]
Resposta: \( k = 2 \).