Raízes do ipê amarelo

por Jan Groenendijk Dom 15 Jan 2023, 17:28

1. Calcule todas as raízes racionais e complexas de [latex]y^4+2y^3+y^2-2y=0[/latex].
sabendo-se que zero é uma raiz real.

obs.: não sei o gabarito.

por **Elcioschin** Dom 15 Jan 2023, 20:41

y⁴ + 2.y³ + y² - 2.y = 0 ---> y.(y³ + 2.y² + y - 2) = 0

1ª raiz ---> y = 0

Teorema da possíveis raízes racionais --> y = ± 1 e y ± 2 ---> Teste e descubra a 2ª raiz

Aplique Briott-Ruffini para esta raiz na equação do 3º grau e chegue numa do 2º grau

Calcule as outras duas raízes

por Jan Groenendijk Seg 16 Jan 2023, 21:15

Ola! caro mestre Elcioschin

Usei o teorema das raízes racionais mencionado mas depois dos testes não descobri as raízes, pois y^3+2.y^2+y-2=0.

para y=1 ... P(1)=2 >0
para y=-1 ... P(-1)=-2<0
para y=2 ... P(2)=16>0
para y=-2 ... P(-2)=-4<0

Notemos que os sinais são contrários P(1).P(-1)<0, portanto, existe um número ímpar e raízes reais de P(x)=0 no intervalo entre -1 e 1. (Teorema das Raízes Reais)...... "Eu acho! mestre....

por **Elcioschin** Seg 16 Jan 2023, 21:53

Outro modo, usando o Teorema de Bolzano para y³ + 2y² + y - 2 = 0

Para y = 0 ---> P(0) = - 2 ---> P(0) < 0
Para y = 1 ---> P(1) = +2 --> P(2) > 0

Existe uma raiz real no intervalo ]0, 1[ mas não sabemos qual é

Assim, não temos como calcular as outras duas raízes.

Tens certeza do enunciado? Poderia ser um erro de sinal em 2.x² ou em 2

por **Elcioschin** Ter 17 Jan 2023, 11:56

Por exemplo, suponha que o correto seja y⁴ - 2.y³ + y² - 2.y = 0 --->

y⁴ - 2.y³ + y² - 2.y = 0 ---> y.(y³ - 2.y² + y - 2) = 0

1) y = 0 é uma raiz

2) y³ - 2.y² + y - 2 = 0 ---> y².(y - 2) + 1(y - 2) = 0 --->

(y² + 1).(y - 2) = 0 ---> Raiz real ---> y = 2

Raízes imaginárias ---> y² + 1 = 0 ---> y² = - 1 ---> y = -i e y = i