Prostaférese
4 participantes
PiR2 :: Matemática :: Trigonometria
Página 1 de 1
Prostaférese
por Lagassin Ter 27 Dez 2022, 21:54
Transforme em produto: 1 + sin(2x)
Gab = 2 sin^2(x)(pi/4 + x)
Gab = 2 sin^2(x)(pi/4 + x)
Lagassin- Iniciante
- Mensagens : 5
Data de inscrição : 05/06/2021
Localização : Espirito Santo, Brasil.
Re: Prostaférese
por Elcioschin Qua 28 Dez 2022, 11:12
O gabarito não confere:
Para x = pi/4 ---> 1 + sen(2.x) = 1 + sen(pi/2) = 1 + 1 = 2
Gabarito: 2.[sen(pi/4)]².(pi4 + pi/4) = 2.(√2/2)².(pi/2) = pi/2
Prostaférese ---> sen(2.x) + 1 = sen(2.x) + sen(pi/2) = 2.sen[(2.x + pi/2)/2].cos[(2.x + pi/2)/2] =
2.sen(x + pi/4).cos(x - pi/4)
Para x = pi/4 ---> 1 + sen(2.x) = 1 + sen(pi/2) = 1 + 1 = 2
Gabarito: 2.[sen(pi/4)]².(pi4 + pi/4) = 2.(√2/2)².(pi/2) = pi/2
Prostaférese ---> sen(2.x) + 1 = sen(2.x) + sen(pi/2) = 2.sen[(2.x + pi/2)/2].cos[(2.x + pi/2)/2] =
2.sen(x + pi/4).cos(x - pi/4)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73175
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Re: Prostaférese
por JaquesFranco Qua 28 Dez 2022, 11:20
Primeiro, note que:
[latex]sin(\dfrac{\pi}{2}) = 1[/latex]
Logo:
[latex]1 + sin(2x)[/latex] = [latex]sin(\dfrac{\pi}{2}) + sin(2x)[/latex] = [latex]2sin(\dfrac{\pi}{4} + x)cos(\dfrac{\pi}{4} - x)[/latex] (i)
Relação: [latex]cos(\dfrac{\pi}{4} - x) = sen(\dfrac{\pi}{4} + x)[/latex]
Demonstração: Note que:
[latex]cos(\dfrac{\pi}{4} - x) = cos(\dfrac{\pi}{4})cos(x) + sin(x)sin(\dfrac{\pi}{4}) [/latex] = [latex]sin(\dfrac{\pi}{4})cos(x) + sin(x)cos(\dfrac{\pi}{4}) = sin(\dfrac{\pi}{4} + x)[/latex] (ii)
De (ii) em (i):
[latex]1 + sin(2x) =2sin(\dfrac{\pi}{4} + x)cos(\dfrac{\pi}{4} - x) = 2[sin(\dfrac{\pi}{4} + x)]^2[/latex]
[latex]sin(\dfrac{\pi}{2}) = 1[/latex]
Logo:
[latex]1 + sin(2x)[/latex] = [latex]sin(\dfrac{\pi}{2}) + sin(2x)[/latex] = [latex]2sin(\dfrac{\pi}{4} + x)cos(\dfrac{\pi}{4} - x)[/latex] (i)
Relação: [latex]cos(\dfrac{\pi}{4} - x) = sen(\dfrac{\pi}{4} + x)[/latex]
Demonstração: Note que:
[latex]cos(\dfrac{\pi}{4} - x) = cos(\dfrac{\pi}{4})cos(x) + sin(x)sin(\dfrac{\pi}{4}) [/latex] = [latex]sin(\dfrac{\pi}{4})cos(x) + sin(x)cos(\dfrac{\pi}{4}) = sin(\dfrac{\pi}{4} + x)[/latex] (ii)
De (ii) em (i):
[latex]1 + sin(2x) =2sin(\dfrac{\pi}{4} + x)cos(\dfrac{\pi}{4} - x) = 2[sin(\dfrac{\pi}{4} + x)]^2[/latex]
JaquesFranco- Jedi
- Mensagens : 235
Data de inscrição : 19/02/2021
Idade : 19
Re: Prostaférese
por al171 Dom 15 Jan 2023, 13:24
\[
\begin{align*}
( \sin(x) + \cos(x) )^2 & = \underbrace{\sin^2(x) + \cos^2(x)}_1 + \underbrace{2 \sin(x)\cos(x)}_{\sin(2x)} \\
& = 1 + \sin(2x)
\end{align*}
\]
Assim, \( 1 + \sin(2x) = (\sin(x) + \cos(x) )^2 \).
\begin{align*}
( \sin(x) + \cos(x) )^2 & = \underbrace{\sin^2(x) + \cos^2(x)}_1 + \underbrace{2 \sin(x)\cos(x)}_{\sin(2x)} \\
& = 1 + \sin(2x)
\end{align*}
\]
Assim, \( 1 + \sin(2x) = (\sin(x) + \cos(x) )^2 \).
al171- Fera
- Mensagens : 490
Data de inscrição : 14/03/2017
Idade : 23
Localização : SP
Tópicos semelhantesPiR2 :: Matemática :: Trigonometria
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
