Número complexo - repost

por leonardokkk Ter 13 Dez 2022, 11:10

Olá.
Para todo x ∈ R, a fórmula de Euler para exponencial de números complexos é dada por e^ix = cos (x) + isen (x).
Analise as afirmativas abaixo, e assinale V (verdadeira) ou F (falsa).
1. O módulo do número complexo e^ix é igual a 1.
2. Existe x ∈ R tal que e^ix = 0.
3. e^ikpi = 1, para todo número inteiro k.
4. i^i = e^pi/2

Estou com dúvida no número 4.
Gostaria de saber por que é verdadeira.
Res 1.V 2.F 3.F 4.V

por **tales amaral** Ter 13 Dez 2022, 16:07

i^i = e^pi/2

[latex]i^i = e^{\ln i^i} = e^{i\ln i} [/latex]

[latex]\ln i = k \implies e^k = i \implies e^k = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} +2n\pi\right )+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi \right ) \implies k = \left(\dfrac{\pi}{2} +2n\pi\right )\cdot i[/latex]

[latex]i^i = e^{i\ln i} = e^{i\cdot\left(\frac{\pi}{2} +2n\pi\right )\cdot i} = e^{-\frac{\pi}{2}-2n\pi}[/latex]

4 é falsa. O ramo principal seria e^{-pi/2}.

por leonardokkk Qui 15 Dez 2022, 09:24

Obrigado pela ajuda.

tales amaral escreveu:i^i = e^pi/2

[latex]i^i = e^{\ln i^i} = e^{i\ln i} [/latex]

[latex]\ln i = k \implies e^k = i \implies e^k = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} +2n\pi\right )+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi \right ) \implies k = \left(\dfrac{\pi}{2} +2n\pi\right )\cdot i[/latex]

[latex]i^i = e^{i\ln i} = e^{i\cdot\left(\frac{\pi}{2} +2n\pi\right )\cdot i} = e^{-\frac{\pi}{2}-2n\pi}[/latex]

4 é falsa. O ramo principal seria e^{-pi/2}.

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