Ortogonalidade e LI

Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno <, >. Sejam v1, · · · , vn elementos não-nulos de V e mutuamente ortogonais, isto é, < vi , vj >= 0 se i =/= j. Mostre que v1, · · · , vn são linearmente independentes.

Se [latex]\sum_{i = 1}^{n} c_i\cdot v_i = 0[/latex], temos para todo v_j: [latex]\left<\sum_{i = 1}^{n} c_i\cdot v_i, v_j\right> = \left<0, v_j \right> [/latex]. Como o produto interno é linear, temos [latex]\left<\sum_{i = 1}^{n} c_i\cdot v_i, v_j\right> = \left<0, v_j \right> \implies \sum_{i = 1}^{n} \left< c_i\cdot v_i, v_j\right> =0 \implies   \sum_{i = 1}^{n} c_i\cdot\left<  v_i, v_j\right> =0[/latex]. Pelo enunciado     [latex]\left< v_i, v_j\right> =0[/latex] para todo i diferente de j, portanto     [latex]\sum_{i = 1}^{n} c_i\cdot\left< v_i, v_j\right> =0 \implies c_j\cdot \left< v_j,v_j\right> =0 \implies c_j\cdot |v_j|^2= 0[/latex]. Como v_j é não nulo, temos     [latex]|v_j|^2\neq 0[/latex], portanto     [latex] c_j\cdot |v_j|^2= 0 \implies c_j = 0[/latex].

Como [latex]\sum_{i = 1}^{n} c_i\cdot v_i = 0 \implies c_1=c_2=\cdots=c_n=0[/latex], temos que o conjunto é LI.