Equação trigonométrica

Alguém tem uma dica pra esse tipo de questão? não consegui resolver

Resposta: +/- (π/12) + kπ/4

\[
\begin{align*}
\sin^8(2x) + \cos^8(2x) & = \frac{41}{128} \\
\left[ \sin^4(2x) + \cos^4(2x) \right]^2 - 2\sin^4(2x)\cos^4(2x) & = \frac{41}{128}
\end{align*}
\]
Vamos investigar o termo \( \sin^4(2x) + \cos^4(2x) \):
\[
\begin{align*}
\sin^4(2x) + \cos^4(2x) & = [ \underbrace{\sin^2(2x) + \cos^2(2x)}_1 ]^2 - 2\sin^2(2x) \cos^2(2x) \\
& = 1 - 2\sin^2(2x)\cos^2(2x)
\end{align*}
\]
Assim,
\[
\begin{align*}
\left[ \sin^4(2x) + \cos^4(2x) \right]^2 - 2\sin^4(2x)\cos^4(2x) & = \frac{41}{128} \\
1 + 4\sin^4(2x)\cos^4(2x) -4\sin^2(2x)\cos^2(2x) -2\sin^4(2x)\cos^4(2x) & = \frac{41}{128} \\
2\sin^4(2x)\cos^4(2x) -4\sin^2(2x)\cos^2(2x) + 1 & = \frac{41}{128}
\end{align*}
\]
Invocamos a variável auxiliar \( p = \sin^2(2x)\cos^2(2x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^2(4x) \).
\[
\begin{align*}
2p^2 - 4p + 1 & = \frac{41}{128}\\
2p^2 - 4p + \frac{87}{128} & = 0
\end{align*}
\]
Resolvemos a equação de segundo grau em \(p\):
\[
\begin{align*}
p & = \frac{2 \pm \sqrt{ 16 - \frac{87}{64} } }{2} \\
& = \frac{2 \pm \sqrt{ \frac{169}{64} } }{2} \\
& = \frac{2 \pm \frac{13}{8} }{2} \\
& = \frac{16 \pm 13}{16}\\
\end{align*}
\]
Sabemos que \( p = \frac{1}{4} \cdot \sin^2(4x) \):
\[
\begin{align*}
\frac{\sin^2(4x)}{4} & = \frac{16 \pm 13 }{16} \\
\sin^2(4x) & = \frac{16 \pm 13}{4}
\end{align*}
\]
Perceba que somente o sinal negativo atende ao intervalo de valores que seno pode assumir:
\[
\sin^2(4x) = \frac{16 - 13 }{4} \Leftrightarrow \sin^2(4x) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin(4x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow 4x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} + k\pi
\]
Finalmente,
\[
x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{4}, \ k \in \mathbb{Z}
\]