Carlos Cattony - 1946

A soma de dois números multiplicada pela soma de seus quadrados dá como produto 1484; e a diferença deles multiplicada pela diferença de seus quadrados dá como produto 224. Quais são esse números ? 
Obs: Não tenho a resposta do problema no livro.

Sejam a e b os dois números. O enunciado diz:
(a + b).(a² + b²) = 1 484 ...........(*1)
(a - b).(a² - b²) = 224 ................(*2)

vamos aplicar a diferença do quadrado na 2a equação e fatorar o segundo membro:
(a + b).(a² + b²) = 2².7.53
(a + b).(a - b)² = 2⁵.7

Observe que nas duas equações temos (a+b) e 2².7 portanto, para a e b inteiros deveremos ter a+b = {2, 4, 7, 14, 28}. Entendo óbvio que não pode ser 2 ou 4 e sobram as seguintes possibilidades:

(1)
a + b = 2².7 = 28, o que implica em
--> a² + b² = 53
--> (a - b)² = 2³ = 8 ---> como não existe um Inteiro cujo quadrdo resulte 8, esta possibilidade é descartada.

(2)
a + b = 7, impllicando em
--> a² + b² = 2².53 = 212
--> (a - b)² = 2⁵ = 32  --->  idem, não existe interio cujo quadrado dê 32 --> descartada.

(3)
a = b = 2.7 = 14, implicando em
--> a² + b² = 2.53 = 106 .........(i)
--> (a - b)² = 2⁴ = 16  ---->  a - b = 4  ---->  b = a - 4 ...........(ii)

(ii) em (i)  -->  a² + a² + 16 - 8a = 106  .......... x(1/2) ........ a² - 4a - 45 = 0
ou a = 9 ---(ii)--->  b = 5
ou a = -5 ---(ii)--->  b = -9 ............. NÃO SATISFAZ POIS APLICANDO EM (*2) RESULTA -224

Portanto os números são {9, 5}.