Trigonometria sabendo-se que sen(3x)

por dibraldinho47 Sáb 03 Dez 2022, 10:59

Sabendo-se que [latex]sen (3x)=\tfrac{-1}{2}[/latex] e [latex]0\leq x\leq \frac{\pi }{2}[/latex] , pode-se concluir que o valor de sen (6x) é

a) [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

b) [latex]\tfrac{1}{2}[/latex]

c) 0

d) [latex] \frac{-1}{2}[/latex]

e) [latex]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

por **tales amaral** Sáb 03 Dez 2022, 11:24

Lembre-se que:
[latex]\sin(2x)= 2\sin(x)\cos(x)[/latex]
Como [latex]\sin(3x) = -\dfrac{1}{2}[/latex], temos [latex]\sin^2(3x)+\cos^2(3x) = 1 \iff|\cos(3x)| = \dfrac{\sqrt{3}}{2}[/latex].

Olhando o domínio de 3x (0<3x< 3pi/2):
Trigonometria sabendo-se que sen(3x) XIDXgzmaKIEAAAAASUVORK5CYII=

Trigonometria sabendo-se que sen(3x) XIDXgzmaKIEAAAAASUVORK5CYII=

O único lugar com seno negativo é entre pi e 3pi/2. Nesse intervalo o cosseno é negativo, portanto [latex]\cos(3x) =- \dfrac{\sqrt{3}}{2}[/latex].

Agora [latex]\sin(6x)= 2\sin(3x)\cos(3x) = 2 \cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} [/latex].

por dibraldinho47 Sáb 03 Dez 2022, 11:27

Muito obrigado!

por Jvictors021 Sáb 03 Dez 2022, 20:09

Outra forma de fazer é descobrindo o valor do x.

Sen 3x = -1/2

Veja que $Trigonometria sabendo-se que sen(3x) Png$ , logo 3x deve estar no 3° quadrante, no 4° seria impossível, visto a confição de valor do x.

O ângulo do 3° quadrante que possui sen = -1/2 é 210.
dividindo 210 por 3, chegaremos que x = 70°

logo sen 6x = sen 420° = sen 60°