Colisão Bidimensional

Um corpo de massa M está em repouso sobre uma superfície plana e outro de massa m se move com velocidade u até colidir com o corpo de massa M. Sabe-se que a colisão é perfeitamente elástica, sem haver rotação dos corpos após a colisão. O corpo de massa M forma um ângulo [latex]\phi [/latex] em relação ao movimento inicial de m. Dê a velocidade de M.

Gabarito:

Existe alguma figura na questão? Se houver, poste, por favor.

Elcioschin escreveu:Existe alguma figura na questão? Se houver, poste, por favor.

Infelizmente não há nenhuma figura, mestre. Estava fazendo essa questão há alguns meses, mas ela não saiu. Tentei fazer sozinho há alguns dias, deu na mesma.
Tentei fazer um desenho como o senhor perguntou, mas não sei se está certo e se o meu cálculo também está.
Fiz o seguinte:

1) Desenhei uma superfície plana e horizontal com o corpo de massa M em repouso e o corpo de massa m deslocando-se em sua direção. Depois desenhei estes mesmos dois corpos movendo-se obliquamente.
2) Como o corpo de massa M sofre um desvio após a colisão e forma um ângulo [latex]\Phi[/latex], também considerei que o corpo de massa m sofre um desvio, formando um outro ângulo [latex]\Theta[/latex].
3) Fiz a conservação da energia mecânica.
[latex]E_{c_{i}} = E_{c_{f}}\\ \frac{M.0^2}{2} + \frac{m.u^{2}}{2} = \frac{M.V_{f_{a}}}{2}^{2} + \frac{m.V_{f_{b}}}{2}^{2}\\ \frac{m.u^{2}}{2} = \frac{M.V_{f_{a}}}{2}^{2} + \frac{m.V_{f_{b}}}{2}^{2} [/latex]


Multipliquei a equação acima por 2 e obtive: 

[latex] m.V_{f_{a}}^{2} + m.V_{f_{b}}^{2} = m.u^{2} [/latex] (I)


4) Provavelmente não deve estar certo, mas igualei as quantidades de movimento finais dos corpos de massas M e m em relação ao eixo y.

[latex]M.V_{f_{a}}.sen\Phi = m.V_{f_{b}}.sen\Theta[/latex] (II)


Desta equação, achei: 

[latex]sen \Theta = \frac{M.V_{f_{a}}.sen \Phi}{m.V_{f_{b}}}[/latex] (III)


Apliquei na relação fundamental da trigonometria e também achei 

[latex]cos\Theta = \sqrt{1-\frac{M^{2}.V^{2}_{f_{a}}.sen^{2} \Phi}{m^{2}.V_{f_{b}^{2}}}}[/latex]  


Disso, extraí que 

[latex]cos^{2}\Theta = m^{2}.V_{f_{b}}^{2} - M^{2}.V_{f_{a}}^{2}.sen^{2}\Phi [/latex]   (IV)


5) Decompus as quantidades de movimento dos dois corpos e comecei a calcular:

Eixo y: 

[latex]Q_{i_{y}} = Q_{f_{y}}\\ {m_{a}}.v_{0_{a_{y}}}+{m_{b}}.v_{0_{b_{y}}} = {m_{a}}.v_{f_{a_{y}}} + {m_{b}}.v_{f_{b_{y}}}\\ M.0 + m.u = M. V_{f_{a}}.sen\Phi + m.V_{f_{b}}.sen\Theta\\ m.u = M. V_{f_{a}}.sen\Phi + m.V_{f_{b}}.sen\Theta\\ [/latex]   (V)


Eixo x:

[latex]Q_{i_{x}} = Q_{f_{x}}\\ {m_{a}}.v_{0_{a_{x}}}+{m_{b}}.v_{0_{b_{x}}} = {m_{a}}.v_{f_{a_{x}}} + {m_{b}}.v_{f_{b_{x}}}\\ M.0 + m.u = M. V_{f_{a}}.cos\Phi + m.V_{f_{b}}.cos\Theta\\ m.u = M. V_{f_{a}}.cos\Phi + m.V_{f_{b}}.cos\Theta\\ [/latex]   (VI)


Passei [latex]M. V_{f_{a}}.cos\Phi[/latex] para o outro lado, elevei a equação (VI) ao quadrado e encontrei

[latex]m^{2}.u^{2} - 2.m.u.M.V_{f_{a}}.cos\Phi + M^{2}.V_{f_{a}}^{2}.cos^{2}\Phi = m^{2}.V_{f_{b}}^{2}.cos^{2}\Theta [/latex]  (VII)


Após isso, substituí (IV) em (VII) e não consegui mais calcular.

Não sei onde estou errando. Se fiz ou inseri alguma conta errada, por favor, me alerte.
Se o senhor ou outros usuários puderem me ajudar, ficarei extremamente feliz e grato!

PS: Perdão pelas contas e por algumas falhas em códigos, ainda estou aprendendo a usar o LaTeX.