Polinômios

Nas divisões de um polinômio P(x) por 3x + i e por ix + 3, em que "i" é a unidade imaginária, são obtidos restos iguais e quocientes Q1(x) e Q2(x) respectivamente. Calcule o resto da divisão de Q1(x) + Q2(x) por x+1

P(x) = Q₁(x).(3.x + i) + R = Q₂(x).(3 + x.i) + R --->

Q₁(x).(3.x + i) = Q₂(x).(3 + x.i)

Q₁(x)/Q₂(x) = (3 + x.i)/(3.x + i) ---> Q₁(x)/Q₂(x) =  (3 + x.i).(3.x - i) /(3.x + i).(3.x - i) --->

Q₁(x)/Q₂(x) =  [10.x + 3.(x² - 1).i]/(9.x² + 1)

Um caminho possível é calcular Q₁(x) em função de Q₂(x)

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P(x) = (3x + i).Q1(x) + R(x)
P(x) = (ix + 3).Q2(x) + R(x)

Igualando as duas equações acima fica:

(3x + i).Q1(x) + R(x) = (ix + 3).Q2(x) + R(x)
(3x + i).Q1(x) = (ix + 3).Q2(x)
Q1(x) = (ix + 3).Q2(x) / (3x + i)    ---> aqui encontramos Q1(x) em função de Q2(x)

Agora construímos o polinômio Q1(x) + Q2 (x), que deverá ser dividido por (x + 1):

Q1(x) + Q2(x) = (ix + 3).Q2(x) / (3x + i) + Q2(x)

Fazendo o MMC entre 1 e (3x + i), é o próprio (3x + i)

Q1(x) + Q2(x) = (ix + 3).Q2(x) / (3x + i) + Q2(x)(3x + i) /(3x + i)

Q1(x) + Q2(x) = (ix + 3).Q2(x)+ Q2(x)(3x + i) /(3x + i)

Colocando Q2(x) em evidência:

Q1(x) + Q2(x) = Q2(x).(ix + 3 + 3x + i)/(3x + i)

Agrupando os fatores do numerador de modo conveniente:
Q1(x) + Q2(x) = Q2(x).(3 + 3x + i + ix)/(3x +i)

Colocando em evidência os fatores comuns:
Q1(x) + Q2(x) = Q2(x).[3(1+x) + i(1+x)]/(3x + i)

Colocando o fator comum que surgiu (1 +x) em evidência:
Q1(x) + Q2(x) = Q2(x).[(1+x)(3 + i)]/(3x + i)

A partir desse momento, pelo teorema de D'Alembert, sabemos que o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x-a) é igual a P(a). Neste caso P(x) = Q1(x) + Q2(x) será dividido por (x+1), que equivale a [x -(-1)]; portanto nosso "a" = -1. 

Fazendo P(-1) no polinômio Q1(x) + Q2(x) será igual a zero, pois x=-1 zera todo o numerador do polinômio obtido:

Q1(-1) + Q2(-1) = Q2(-1).[(1-1)(3 + i)]/(3.(-1) + i)
Q1(-1) + Q2(-1) = Q2(-1).[0.(3 + i)]/(-3 + i)
Q1(-1) + Q2(-1) = 0/(-3 + i) = 0

Assim, da divisão de Q1(x) + Q2(x) por (x + 1) obtemos R(x) = 0

Perfeito!