Áreas

por Lucas Garibaldi Seg 26 Set 2022, 00:51

Um triângulo circunscrito a uma circunferência de raio R é mostrado na figura a seguir. Nela, o ângulo α aparece em destaque juntamente com diversos comprimentos relacionados ao triângulo, representados por x e y.

Áreas Questao_1_ph_17_em_3_mat_2_869269_3447264_

Em função de α e R, qual é a área da região no interior da circunferência que excede o triângulo?

A

R²(π + cos α)
B

R²(π − cos²α − sen α)
C

R²(π − sen α cos α − cos α)
D

R²(π − tg α)
E

R²(π − sen²α − cos α)

por **Elcioschin** Seg 26 Set 2022, 10:24

Existem erros no enunciado:

Seja ABC o triângulo com C o vértice superior, AB a base e M o ponto entre A e B
Seja O o centro da circunferência

1) O triângulo é inscrito (e não circunscrito) na circunferência.
2) Não foi dito que o triângulo é isósceles, nem que a reta pontilhada é perpendicular a AB, no seu ponto médio M

Supondo que seja isósceles: BM = AM = x ---> C^MA = C^MB = 90º ---> AO = BO = CO = R

AM = BM = R.cosα ---> x = R.cosα
OM = R.senα ---> y = R.senα

St = AB.MC/2 --> St = (2.x).(y + R)/2 --> St = x.y + x.R --> St = (R.cosα).(R.senα) + (R.cosα).R -->

St = R².cosα.senα + R².cosα ---> St = R².(cosα.senα + cosα)

S = Sc - St ---> S = pi.R² - R².(cosα.senα + cosα) ---> Complete

por Lucas Garibaldi Seg 26 Set 2022, 12:52

Desculpe, mas eu não consegui entender essa questão. Seria muito bom se fosse possível o Senhor me fornecer a resolução da questão, pois assim eu poderei entendê-la.

por **Elcioschin** Seg 26 Set 2022, 13:39

Eu já apresentei a solução: deixei para vc fazer apenas a última conta. Faça.

por **petras** Seg 26 Set 2022, 14:11

Lucas Garibaldi escreveu:Desculpe, mas eu não consegui entender essa questão. Seria muito bom se fosse possível o Senhor me fornecer a resolução da questão, pois assim eu poderei entendê-la

Não tem muito o que acrescentar na solução do Élcio...é calcular a área do círculo e do triângulo em função do seno e cosseno deste.

por **petras** Seg 26 Set 2022, 14:14

Elcioschin escreveu:Existem erros no enunciado:

Seja ABC o triângulo com C o vértice superior, AB a base e M o ponto entre A e B
Seja O o centro da circunferência

1) O triângulo é inscrito (e não circunscrito) na circunferência.
2) Não foi dito que o triângulo é isósceles, nem que a reta pontilhada é perpendicular a AB, no seu ponto médio M

Supondo que seja isósceles: BM = AM = x ---> C^MA = C^MB = 90º ---> AO = BO = CO = R

AM = BM = R.cosα ---> x = R.cosα
OM = R.senα ---> y = R.senα

St = AB.MC/2 --> St = (2.x).(y + R)/2 --> St = x.y + x.R --> St = (R.cosα).(R.senα) + (R.cosα).R -->

St = R².cosα.senα + R².cosα ---> St = R².(cosα.senα + senα)

S = Sc - St ---> S = pi.R² - R².(cosα.senα + senα) ---> Complete