Gravitação Universal

por Breno Belasque Qua 07 Set 2022, 08:52

Em um sistema planetário hipotético, existem dois planetas esféricos, A e B, de massas, respectivamente, M e 4M. Um satélite natural α descreve, em torno de A, uma órbita cujo raio médio tem comprimento R. Um satélite natural β descreve, em torno de B, uma órbita cujo raio médio tem comprimento 2R.

Gravitação Universal 16cbbdfd-fb9a-49fd-bb06-b02932285f0b

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Sendo Tα o período de rotação do satélite α e Tβ o período de rotação do satélite β, pode-se afirmar que o valor da razão entre Tβ e Tα é.

A) √2
B) √3
C) 2
D) 3
E) 4

Gabarito: A

Tentei fazer essa questão pela Lei dos Períodos, porém, achei como resposta 2√2. Alguém poderia dizer onde eu errei?

por catwopir Qua 07 Set 2022, 09:10

Opa, bom dia.

Temos que os satélites estão em orbitas, logo, há somente a força centrípeta fazendo-o continuar em

como a força centrípeta é a resultante, temos que

Fcp=M.mG/D²
mv²/r=M.mG/r²
v²=MG/r

como v=WR e W=2π/T -> V=2πr/T
4π²R²/T²=MG/R -> T²/R³=4π²/MG
T²=R³4π²/MG

O satélite A -> T²=R³4π²/MG ->
[latex]T_a=\sqrt{\frac{r^34\pi ^2}{MG}}[/latex]
mesmo raciocínio pro b
[latex]T_B=\sqrt{\frac{8r^34\pi^2 }{4MG}}[/latex]

[latex]\frac{T_b}{T_a}=\sqrt{\frac{\frac{8r^34\pi^2}{4MG}}{\frac{r^34\pi ^2}{MG}}}\rightarrow \frac{T_B}{T_A}=\sqrt{2}[/latex]

por Breno Belasque Qua 07 Set 2022, 13:48

Entendi a resolução por essa forma. Porém, tentei fazer a questão pela Lei dos Períodos e encontrei este resultado: https://servimg.com/view/20332768/7

Saberia me dizer por que os resultados estão diferentes?

por catwopir Qua 07 Set 2022, 13:53

Essa terceira lei de Kepler só é valida se estiverem orbitando o mesmo astro. tenta dá uma olhadinha na terceira lei e perceberá que não faz muito sentindo essa igualdade