Series (Dosagem de remédio)

Certo remédio tem meia-vida de cerca de 2 horas na corrente sanguínea. A cada 4 horas
administram-se doses de K miligramas, com K a ser ainda determinado.

(a) Determine o número de miligramas do remédio na corrente sanguínea após a n-esima dose.
(b) Utilizando o item (a), encontre a quantidade de miligramas do remédio na corrente sanguínea para
valores arbitrariamente grandes de n.
(c) Se mais de 500 miligramas do remédio na corrente sanguínea ´e considerado um nível perigoso,
determine a maior dose possível que possa ser administrada repetidamente por um longo período de
tempo.

a) O termo geral da sequência que determina o número de miligramas do remédio na corrente sanguínea após a n-ésima dose é tal que obedece à seguinte recursão:
\[
a_n = \frac{a_{n-1}}{4} + k \Rightarrow \begin{cases} \displaystyle  a_n = \frac{a_{n-1}}{4} + k \\[10pt] \displaystyle  a_{n-1} = \frac{a_{n-2}}{4} + k \end{cases} \Rightarrow 4 a_n = 5a_{n-1} - a_{n-2}
\]
Assim, o polinômio característico dessa recursão é
\[
4x^2 - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} \ \text{ou} \ x = 1
\]
Logo,
\[
a_n = \alpha \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n + \beta \Rightarrow \begin{cases} \displaystyle a_1 = k = \frac{\alpha}{4} + \beta \\[10pt] \displaystyle  a_2 = \frac{5k}{4} = \frac{\alpha}{16} + \beta \end{cases} \Rightarrow \alpha = - \frac{4k}{3} \ \land \ \beta = \frac{4k}{3}
\]
Finalmente,
\[
\boxed{a_n = -\frac{4k}{3} \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n + \frac{4k}{3} = \frac{4k}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^n} \right)}
\]
b) Fazendo o limite de quando \( n \) tende ao infinito
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4k}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^n} \right) = \frac{4k}{3}
\]
c) A quantidade de remédio na corrente sanguínea deve ser menor ou igual a 500 miligramas para um longo período de inoculação (\(n\) tendendo ao infinito) do remédio de modo que a dose \(k\) é
\[
a_n = \frac{4k}{3} \leq 500 \Leftrightarrow k \leq 375 \ \mathrm{mg}
\]

al171 escreveu:a) O termo geral da sequência que determina o número de miligramas do remédio na corrente sanguínea após a n-ésima dose é tal que obedece à seguinte recursão:
\[
a_n = \frac{a_{n-1}}{4} + k \Rightarrow \begin{cases} \displaystyle  a_n = \frac{a_{n-1}}{4} + k \\[10pt] \displaystyle  a_{n-1} = \frac{a_{n-2}}{4} + k \end{cases} \Rightarrow 4 a_n = 5a_{n-1} - a_{n-2}
\]
Assim, o polinômio característico dessa recursão é
\[
4x^2 - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} \ \text{ou} \ x = 1
\]
Logo,
\[
a_n = \alpha \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n + \beta \Rightarrow \begin{cases} \displaystyle a_1 = k = \frac{\alpha}{4} + \beta \\[10pt] \displaystyle  a_2 = \frac{5k}{4} = \frac{\alpha}{16} + \beta \end{cases} \Rightarrow \alpha = - \frac{4k}{3} \ \land \ \beta = \frac{4k}{3}
\]
Finalmente,
\[
\boxed{a_n = -\frac{4k}{3} \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n + \frac{4k}{3} = \frac{4k}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^n} \right)}
\]
b) Fazendo o limite de quando \( n \) tende ao infinito
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4k}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^n} \right) = \frac{4k}{3}
\]
c) A quantidade de remédio na corrente sanguínea deve ser menor ou igual a 500 miligramas para um longo período de inoculação (\(n\) tendendo ao infinito) do remédio de modo que a dose \(k\) é
\[
a_n = \frac{4k}{3} \leq 500 \Leftrightarrow k \leq 375 \ \mathrm{mg}
\]

Pode me explicar como você chegou nesse an da letra a? Não consegui entender muito bem.

Procedimento padrão para resolver uma recorrência linear homogênea de primeira ordem.

A cada 4 horas adicionam-se \(k\) miligramas, mas a cada 2 horas a quantidade anterior presente em mg é reduzida pela metade, de modo que, a cada 4 horas, a quantidade anterior é reduzida por um fator de \(1/4\).

Teste para pequenos valores de \(n\) e chegará à mesma recorrência
\[
a_n = \frac{a_{n-1}}{4} + k.
\]