Fatoração e produtos notáveis

por HEITORSONIC Seg 08 Ago 2022, 18:19

(Problemas selecionados de Matemática - questão 748)

Sendo A e B números reais dados por

[latex]A = (19 + 3\sqrt[2]{33})^{1/3} + (19 - 3\sqrt[2]{33}) ^{1/3} + 1 [/latex]

[latex]B = (17 + 3\sqrt[2]{33})^{1/3} + (17 - 3\sqrt[2]{33}) ^{1/3} - 1 [/latex]

O valor do produto AB é igual a:
A)9
B)17
C)19
D)33
E)49

por castelo_hsi Ter 09 Ago 2022, 13:14

Também queria ver a resolução dessa questão, tentei usar aquela ideia do conjugado, exemplo:

(√ 2 + 1) = x
(√ 2 - 1) = 1/x

Mas não cheguei em nada, também joguei no Wolfram e deu ruim...

]%2BCbrt[19-3Sqrt[33]]%2B1\%2841%29\%2840%29Cbrt[17%2B3Sqrt[33]]%2BCbrt[17-3Sqrt[33]]-1\%2841%29](Cbrt[19+3Sqrt[33]]+Cbrt[19-3Sqrt[33]]+1)(Cbrt[17+3Sqrt[33]]+Cbrt[17-3Sqrt[33]]-1) - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)

por catwopir Ter 09 Ago 2022, 17:59

[latex]A-1=\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}} +\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} [/latex]

(A-1)³=19+3V33+19-3V33+3.4(a-1)
chamando A-1=x
x³-12x-38=0
usando um site pra montar o gráfico, podemos aproximar a raiz pra 4,5.
A-1=4,5-> A=5,5

[latex]B+1=\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{17-3\sqrt{33}}[/latex]

(B+1)³=17+3V33+17-3V33 -3.2(B+1)

B+1=y
y³+6y-34=0
usando o mesmo site, podemos aproximar pra 2,6 a raiz.
b+1=2,6-> B=1,6
A.B=9(aproximadamente)
usei a fatoração (A+B)²=A³+B³+3AB(A+B)

cara... eu não consigo pensar em nenhuma outra forma de fazer isso. Acho muito improvável que caia em algum lugar, visto que precisei de um software pra achar a raiz aproximada, mas admito que foi bem divertido fazer a questão.